(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题13 立体几何中的向量方法 理

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题

强化练 专题13 立体几何中的向量方法 理

一、选择题

1．(2014·北京理，7)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，

D(1,1，2)，若S1、S2、S3分别是三棱锥D－ABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图

形的面积，则( )

A．S1＝S2＝S3 C．S3＝S1且S3≠S2 [答案] D

[解析] D－ABC在xOy平面上的投影为△ABC， 1

故S1＝AB·BC＝2，

2

设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则D－ABC在yOz和zOx平面上的投影分别为△OCD2和△OAD3，∵D2(0,1，2)，D3(1,0，2)．

B．S2＝S1且S2≠S3 D．S3＝S2且S3≠S1

11

故S2＝×2×2＝2，S3＝×2×2＝2，

22综上，选项D正确．

2．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为( )

1

A. 5C.10 10

B.310

10

3D. 5

[答案] B

[解析] 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)，∵AA1＝2AB，∴E(0,0,1)，

→→

∴BE＝(－1,0,1)，CD1＝(－1,0,2)，

→→BE·CD13310→→

∴cos〈BE，CD1〉＝＝＝，

→→102·5|BE|·|CD1|故选B.

3．(2015·浙江理，8)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△

A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则( )

A．∠A′DB≤α C．∠A′CB≤α [答案] B

[解析] ∵A′C和BC都不与CD垂直，∴∠A′CB≠α，故C，D错误．当CA＝CB时，容易证明∠A′DB＝α.不妨取一个特殊的三角形，如Rt△ABC，令斜边AB＝4，AC＝2，BC＝23，如图所示，则CD＝AD＝BD＝2，∠BDH＝120°，设沿直线CD将△ACD折成△A′CD，使

平面A′CD⊥平面BCD，则α＝90°.取CD中点H，连接A′H，BH，则A′H⊥CD，∴A′H⊥平面BCD，且A′H＝3，DH＝1.在△BDH中，由余弦定理可得BH＝7.在Rt△A′HB中，由勾股定理可得A′B＝10.在△A′DB中，∵A′D＋BD－A′B＝－2<0，可知cos∠

2

2

2

B．∠A′DB≥α D．∠A′CB≥α

A′DB<0，∴A′DB为钝角，故排除A.综上可知答案为B.

4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( )

1

A. 3C.3 3

B.2 3

2D. 3

[答案] B

[解析] 如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、

z轴建立空间直角坐标系如图．设△ABC边长为1，则

A(

3316

，0,0)，B1(－，，)， 3223

5316→

∴AB1＝(－，，)．

623

平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为

2

＝.

75163＋＋364963

→

sinα＝|cos〈AB1，n〉|＝

5.过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是( )

A．30° C．60° [答案] B

[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别|n1·n2|为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为

|n1||n2|＝2， 2

B．45° D．90°

故所求的二面角的大小是45°.

6．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是．．．( )

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 [答案] D

[解析] ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. 又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC.

∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB，从而AC⊥SB.故A正确．易知B正确．设AC与DB交于

O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确．由排除法可知选D.

二、填空题

7．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．

[答案]

3a 3

→

[解析] 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，AD1＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s＝(－

22→

，0，)，MD1＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离 22

→2→2

|MD1|－|MD1·s|

d＝＝

m2＋a－m2

1

－a－m2

2

＝

321

m－am＋a2， 22

根式内的二次函数当m＝－

－aa3a2a1212

＝时取最小值()－a×＋a＝a，故d的最小值为33233232×2

3a. 3

8．(2015·四川理，14)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．