中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版

第二步，设K是一个固定的正整数，K?n!?maxf(A1)，我们证明，对任何正整数

A1?S1x，正整数的n元集合S2??K!n!x??1??S1?具有下述性质：对S2的任意两个不同的非空子集A，B，数f(A)与f(B)是两个互素的整数．

事实上，由S2的定义易知，有S1的两个子集A1,B1，满足A1?A，B1?B，且 f(A)?K!n!xf(A1)?1,f(B)?K!n!xf(B1)?1． ② 显然n!f(A1)及n!f(B1)都是整数，故由上式知f(A)与f(B)都是正整数． 现在设正整数d是f(A)与f(B)的一个公约数，则n!f(A)f(B1)?n!f(B)f(A1)是d的倍数，故由②可知dn!f(A1)?n!f(B1)，但由K的选取及S1的构作可知，

n!f(A1)?n!f(B1)是小于K的非零整数，故它是K!的约数，从而dK!．再结合df(A)及②可知d=1，故f(A)与f(B)互素．

第三步，我们证明，可选择正整数x，使得S2中的数都是合数．由于素数有无穷多个，故可选择n个互不相同且均大于K的素数p1,p2,?,pn．将S1中元素记为（对1?i?j?n），故由中国?1,?2,?,?n，则?pi,K!n!?i??1(1?i?n)，且?pi2,p2j??1剩余定理可知，同余方程组

K!n!x?i??1(modpi2),i?1,2,?,n，

有正整数解．

任取这样一个解x，则相应的集合S2中每一项显然都是合数．结合第二步的结果，这一n元集合满足问题的全部要求．