量子力学

?具有性质a?2?0,{a?,a??}?1。求证： 1.设算符a??a??a?本征值必为实数； （1）N?2?N?； （2）N?的本征值为0或者1。 （3）N2.L为角动量算符，试求

（1）计算 LyLz?LzLy?? （2）证明 在Lz的本征态中Lx?0 3、一质量为m的粒子处于一维无限深势阱

???????0 V(x)????0?x?a

x?0,x?a中，求其能量和归一化波函数。

4、求在Sx表象中，Sy的本征值和本征矢。

5.有一个二能级体系，哈密顿量为H?H0?H?，H0和微扰算符H?的 矩阵表示为

???E1H0???0?0??01????? H?????E2??10?其中?表征微扰强度，E1?E2。用微扰法求H的二级近似能量和一级近似波函数。

6.一维情况下，宇称算符P的定义为：P?(x)??(?x) 证明：(1)P是厄米算符；

(2)P的本征值为?1。

?????2i??，求证：{?i,?j}?0,(i,j?x,y,z). 7.利用对易式?其中?i,?j为Pauli矩阵。

8.设氢原子处于状态

?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22（1）该态是否为定态？为什么？

（2）求在此状态中，轨道角动量平方L2及其z分量Lz的可能值，取这些值的概

率及平均值。

1、二维空间哈密顿算符H在能量表象中的矩阵表示为

??E1(0) H???a? 其中a为实数。

a?? (0)?E2?（1）用微扰公式求能量至二级修正；

（2）求能量精确解。

2、假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：V????B，这里???gse（gs?2）s，2me为电子的磁矩。

（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：???； i??H?t（2）假设t?0时，电子自旋指向x轴正向，即sx?均值；

（3）求t?0时，电子自旋指向y轴负向，即sy??的几率是多少？

2

3、中子n和反中子n的质量都是m，它们的态矢|n?和|n?可以看成是一个自由哈密顿量H0的简并态： H0|n??mc2|n? H0|n??mc2|n?设有某

2，求t?0时，自旋s的平

种相互作用H?能使中子与反中子互相转变： H?|n???|n?

H?|n???|n?其中，???*。试求t?0时刻的一个中子在t时刻变为反中子的几率。

4、无限高势阱中的粒子质量为m的一个粒子在边长为a立方盒子中运动，

粒子所受势能由下式给出：

??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V?? ???,others（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法

（??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?）求系统能量本征值和归一化波函数；

（2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态

简并度。

（3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，

系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；

（4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作

用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数。

5、中子n和反中子n的质量都是m，它们的态矢|n?和|n?可以看成是一个自由哈密顿量H0的简并态： H0|n??mc2|n? H0|n??mc2|n?设有某种相互作用H?能使中子与反中子互相转变： H?|n???|n?

H?|n???|n?其中，???*。试求t?0时刻的一个中子在t时刻变为反中子的几率。

6、无限高势阱中的粒子质量为m的一个粒子在边长为a立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：

??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V?? ???,others（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法

（??x,y,z??X?x?Y?y?Z?z?）求系统能量本征值和归一化波函数；

（2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态

简并度。

（3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，

系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；

（4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作

用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数。

?具有性质a?2?0,{a?,a??}?1。求证： 1．设算符a??a?2?N?；?的本征值为??a?本征值必为实数；（1）N（2）N（3）N0或者1。

?????2i??，2. 利用对易式?求证：其中?i,?j{?i,?j}?0,(i,j?x,y,z)，

为Pauli矩阵。

1．设氦原子中的两个电子都处于1s态，两个电子体系的空间波函数为

?(r1,r2)??100(r1)?100(r2)

（1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数?1,?2,?3,?4； （2）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数?(r1,r2,s2z,s1z)。

??????