2019-2020学年湖北省黄石市九年级上期末数学试卷(含答案)

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∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE与△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF．

24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为点B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1， （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S，并求其最大值．

【解答】解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则

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，

解得．

故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）依题意：设M点坐标为（0，t）， ①当MA=MB时：解得t=0， 故M（0，0）； ②当AB=AM时：

=3

=

解得t=3（舍去）或t=﹣3， 故M（0，﹣3）； ③当AB=BM时，

=3

解得t=3±3故M（0，3+3

，

）或M（0，3﹣3

）．

）、（0，3﹣3

）．

所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3

（3）平移后的三角形记为△PEF． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则

，

解得

．

则直线AB的解析式为y=﹣x+3．

△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF， 易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m． 设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则

，

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-

解得．

则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）． 在△AOB沿x轴向右平移的过程中． ①当0＜m≤时，如图1所示． 设PE交AB于K，EF交AC于M． 则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m， 联立解得

，

，

即点M（3﹣m，2m）． 故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM =PE2﹣PK2﹣AF?h =﹣（3﹣m）2﹣m?2m =﹣m2+3m．

②当＜m＜3时，如图2所示． 设PE交AB于K，交AC于H． 因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m， 又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6， 所以当x=m时，得y=6﹣2m， 所以点H（m，6﹣2m）． 故S=S△PAH﹣S△PAK =PA?PH﹣PA2

=﹣（3﹣m）?（6﹣2m）﹣（3﹣m）2 =m2﹣3m+．

综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．

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25．（10分）如图，点M（﹣3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点．

（1）求反比例函数表达式；

（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称． ①当a=4时，求△ABC′的面积；

②当a的值为 3 时，△AMC与△AMC′的面积相等．

【解答】解：（1）把M（﹣3，m）代入y=x+1，则m=﹣2．

将（﹣3，﹣2）代入y=，得k=6，则反比例函数解析式是：y=；

（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．

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