13年考研数学一考试大纲

章大纲科节 内容 目2013考研数学（一）大纲 复习重点提示 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函1.函数是微积分研数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限究的对象，函数这考试内容 与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无部分的重点是：复合函数、反函数、穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单分段函数和隐函调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: ， 函数连续的概数、基本初等函数念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 的性质及其图形、初等函数的概念一、函数、极高限等、数连学 续 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题等；2.极限是研究微积分的工具，极的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 限是本章的重点内3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数容，既要准确理解极限的概念、性质的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概和极限存在的条件，又要能准确的念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及求出各种极限，掌握求极限的各种方函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则. 法。3.连续性是可7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握导性与可积性的重要条件，要掌握判利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较断函数连续性与间断点类型的方法，方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别特别是分段函数在分界点处的连续函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间性，理解闭区间上上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定连续函数的性质。 理），并会应用这些性质． 二、一元函考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导1.一元函数的导数与微分的概念及其数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反各种计算方法是微函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导积分学中最基本又数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达是最重要的概念与 1

数微分学 （L’Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数计算之一，重点理图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最解函数的可导性与大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径 连续性之间的关1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 考试要求 5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理． 6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 内，设函数 具有二阶导数。当 时， 的图形是凹的；当 时， 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积不定积分与定积分是积分学的基础，在积分的计算中换系．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 2.微分中值定理是微分学中最重要的理论部分，重点掌握罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，会用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点，掌握求最值的方法并会解简单的应用题。 三分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积、考试分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨元函数积一内容 （Newton-Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法元积分和分部积分与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函法是最基本的方数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用 法，需要熟练掌握，理解积分上限的函1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念． 数，会求它的导数，分考试2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性掌握牛顿－莱布尼学 要求 质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 茨公式．掌握用定3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分． 积分表达和计算一

2

4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布些几何量与物理量 尼茨公式． 5．了解反常积分的概念，会计算反常积分． 6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值． 向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余考试弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 1.向量代数的重点内容 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂是向量的运算：加直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 柱面 旋法、四数乘、数量积、、向量代数和空间解转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 向量积与混合积，应能熟练的用于直线与平面的问题；2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），2.空间解析几何的重点是建立平面、了解两个向量垂直、平行的条件. 3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，直线方程，以及直线与直线、平面与掌握用坐标表达式进行向量运算的方法. 4.掌握平面方程和直线方程及其求法. 平面、直线与平面5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，之间的各种关系；考试析并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解3.对于二次方程应要求 几当知道每种方程各决有关问题. 何 表示什么曲面，会6．会求点到直线以及点到平面的距离. 7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念. 转曲面的方程. 9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程. 五、多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限1.多元函数重点研求柱面、旋转面方8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋程。 与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函究的是二元函数，多考试数的偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 重点掌握二元函数元内容 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和的偏导数、可微性、函数梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 全微分，了解全微分存在的必要条件 3

微分学 多元函数的最大值、最小值及其简单应用 1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质. 3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性. 4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 考试要求 5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数. 7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式. 9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题. 及充分条件，会求多元复合函数及隐函数的一阶与二阶偏导数或全微分；2.多元函数微分学的一个重要应用时多元函数的最值问题，包括简单的极值问题与条件极值问；3.多元函数微分学另外一个重要的概念是方向导数和梯度，掌握其计算方法。 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线多元函数积分学是积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林考试内容 六、多元函数积分考试学 要求 1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理. 2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）. 3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系. 4．掌握计算两类曲线积分的方法. 会求二元函数全微分的原函数. 定积分的推广，包（Green）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函括二重积分、三重数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两积分、曲线曲面积类曲面积分的关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯积分的应用 分，学习本章的关定积分的关系，以及它们之间的相互关系，重点掌握把计算各类多元函数积分转化为求定积分的有关公式及重积分的变量替换，包括极坐标、柱坐（Stokes)公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面键就是掌握它们与标与球坐标变换。5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式 6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，及其应用，平面曲掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积线积分与路径无关

4