选修2-1 空间向量知识点归纳总结

选修2-1

第三章 空间向量与立体几何

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

uuuruuuruuurrvuuuruuur uuurrruuurrOB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量

????也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a//b。

??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

??????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数

??λ，使a＝λb。

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

rrrrr（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件

rrr是存在实数x,y使p?xa?yb。

rrrr5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，

rrrrp?xa?yb?zc。 存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使

rrrrrrrrr若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三

uuuruuuruuuruuur个有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC。

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6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量

宝剑锋从磨砺出

梅花香自苦寒来 、

，在空间任取一点O，作

，

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做向宝剑锋从磨砺出

量梅花香自苦寒来（两个向量的起点一定要相同），则叫

与

的夹角，记作

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，且

。

7. 空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组

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