(完整word版)数学分析试题及答案解析

?limn 故该级数收敛. -------------------------------5分 3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数?n?1?an?1n??an?n?1?!n?1?n?1??limn??n!?limn1?e?1?1-----4分

n???1?1/n???1?n收敛-----------2分

n2n1?1??1 知其单调且有界，---------4分 又 0?1?2n1?2n故由阿贝尔判别法知，级数收敛. --------------------------------5分 五.1. 解：极限函数为f?x??limfn?x??0x?D ---------------------2分

n?? 又 fn?x??f?x??sinnx1? ---------------------------------4分 nn ?limsupfn?f?0 故知 该函数列在D上一致收敛.-----------5分

n??n2n2n2 2. 解：因当 x?D 时，un?x??n?n?n----------------------3分

x2xn2而 正项级数 ?n收敛， -----------------------------4分

2由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.---------------5分 六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分） 解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系， 过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：

1R2?x2?tan300?R2?x2--------------------------------5分 S?x??2 故所求立体的体积为： V??R?R32233R?x2dx ------------7分 =R -------10分 69??七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴)

则第一象限等腰边的方程为 x?y?10 ------------------------------------3分 压力微元为：dF?2?10?x??10?x??dx?2??100?x2?dx

故所求为

F?2???100?x2?dx ----------------------------------------7分

100 ?1333.33??吨? ?13066.67?千牛? ------10分 八. 证明：?un?x?? 又un?x?? 所以?cosnxn3?n?1,2??每一项在???,???上连续，

cosnx11? 而?n3收敛 n3n3cosnx在???,???上一致收敛，-------------------------------3分 3n故由定理结论知

cosnx f?x???3在???,???上连续，------------------------------5分

n??x??再者un?sinnx11? 而收敛 ?222nnn??x?在???,???上的连续性 ??x?在???,???上一致收敛，所以?un结合un可知f?x???cosnx在???,???上有连续的导函数. ----------------9分 3n2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 二、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.若f?x?为偶函数，则?f?x?dx必为奇函数（ ）.

2.y?sgn?x?为符号函数，则上限函数y=?sgn?t?dt在???,???上连续

ax（ ）. 3.若???af?x?dx收敛，必有limf?x??0（ ）.

x???4.若?fn?在区间I上内闭一致收敛，则?fn?在区间I上处处收敛（ ）. 5.若?un(x)在?a,b?上内闭一致收敛，则?un(x)在?a,b?上一致收敛（ ）.

n?1n?1??6.若数项级数?an绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对

n?1?收敛，并且其和不变（ ）.

?(x)在?a,b?上一致7.若函数项级数?un(x)在?a,b?上的某点收敛，且?un收敛，则?un(x)也在?a,b?上一致收敛（ ）. 二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 函数f(x)是奇函数，且在[?a,a]上可积，则（ ）

A C

??a?aaf(x)dx?2?f(x)dx B

0a?a?af(x)dx?0

a?af(x)dx??2?f(x)dx D

0a??af(x)dx?2f(a)

2.关于积分?1sinxx1?x20dx，正确的说法是（ ）

A.此为普通积分 B. 此为瑕积分且瑕点为0 C. 此为瑕积分且瑕点为1 D. 此为瑕积分且瑕点为0,1

13.就级数?2p（p?0）的敛散性而言，它是（ ）

nlnn A. 收敛的 B. 发散的 C. 仅p?1 时收 D. 仅p?1 时收敛

4..函数列?fn?在区间I上一致收敛于0的充要条件是（ ）

A. ?x?I,limfn?x??0 B. ?xn?I,limf?xn??0

n??n?? C. ?n?N??limfn?x??0 D. limsup?fn?x???0

x??n??x?I2nnx5.幂级数?的收敛域为： 2n?01?n A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C.??0.5,0.5? D.??0.5,0.5?

三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

1.limn??0?133xnxsinx?e222xdx

2. 设fsinx???xx ，求?f?x?dx sinx1?x四.判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.

?1arctanx1?x120dx

2.

??lnn?n?2?lnn

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）