(完整word版)数学分析试题及答案解析

=?21?xarcsinx?2x?C---------------5分

四.判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.

?1arctanx1?x20dx

arctanx1?x2 解：?x?1?0lim?1?x?12?limarctanx1?xx?1?0??42 -------3分

且 p? 瑕积分

?1?1，?由柯西判别法知， 2?1arctanx1?x20dx收敛 -------------------------5分

2.

??lnn?n?21lnn

解：?limlnn???,?n0?N?,当n?n0时

n?? 有 lnn?e2 -----------------------------2分 从而 当n?n0

1?1-------------------------------4分 n2?lnn?lnn 由比较判别法

??lnn?n?2?1lnn 收敛----------------------------5分

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）

1. fn?x??x?1n2,n?1,2?,D??0,???

解：极限函数为f?x??limfn?x??xx?D-----------------------2分

n?? 又 fn?x??f?x??1x?2?x?n1/n2x?1?xn2?1--------3分 n 从而?limsupfn?f?0

n??故知 该函数列在D上一致收敛. -------------------------5分

x2. ?2nsinn,D?[?1,1]

3x?2? 解：因当 x?D 时，un?x??2sinn???--------------2分

3?3?nn?2?而 正项级数 ???收敛， -----------------------------4分

?3?由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分 3.

n?x??1?n2?n,D????,???

n解：易知，级数???1?的部分和序列?Sn?一致有界，---2分 而 对?x?D,Vn?x??1 是单调的，又由于 2x?n11?x?D,Vn?x??2??0?n???，------------------4分

x?nn1??所以?vn?x??2?在D上一致收敛于0，

x?n??从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分

六. 设平面区域D是由圆x2?y2?2，抛物线y?x2及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

?x2?y2?2222x?y?2y?x解：解方程组?得圆与抛物线在第一象限 2?y?x的交点坐标为：?1,1?， ---------------------------------------3分 则所求旋转体得体积为：

V????2?y?dy???ydy -------------------------------7分

12100 =------------------

=

7? ------------------------------------------------------10分 6七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功（本题满分10分）

解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：

dW???52??xdx?25??xdx --------------------------------5分 故所求为：W?215???100xdx -------------------------------------8分

=1250??

=12250?（千焦）-----------------------------------10分 八．设un?x??n?1,2??是[a,b]上的单调函数，证明：若?un?a?与?un?b?都

绝对收敛，则?un?x?在[a,b]上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 证明：un?x??n?1,2??是[a,b]上的单调函数，所以有

un?x??un?a??un?b? ------------------------------4分

又由?un?a?与?un?b?都绝对收敛，

所以??un?a??un?b?? 收敛，--------------------------------------7分 由优级数判别法知：

?u?x?在[a,b]上绝对且一致收敛.--------------------------------n2013 ---2014学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一. 判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)

1.若f(x)在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上可积. ( )

2.若函数f(x)在[a,b]上有无穷多个间断点，则f(x)在[a,b]上必不可积。 （ ）

3.若???af(x)dx与?g(x)dx均收敛，则?[f(x)?g(x)]dx一定条件收

aa????敛。 （ ）

4.若?fn?x??在区间I上内闭一致收敛，则?fn?x??在区间I处处收敛（ ） 5.若?an为正项级数（an?0），且当 n?n0时有：

n?1?an?1?1 ，则级数an?an?1?n必发散。（ ）

6.若f?x?以2?为周期，且在???,??上可积，则的傅里叶系数为：

an?1??2?0f?x?cosnxdx （ ）

?? 7.若?an?s，则??an?an?1??2s?a1 （ ）

n?1n?1 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（ ） 二. 单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列广义积分中，收敛的积分是（ ）