1990全国高考文科数学试题

又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.

解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E. ∴ SC⊥面BDE, ∴ SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE. ∵DE面BDE,DC面BDC,

∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一.

(24)本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力. 解:原不等式可化为

loga(4+3x-x2)>loga2(2x-1). ① 当0

即当0

当a>1时,①式等价于

(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力. 解法一:设z=x+yi,代入原方程得

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为

x+2│x│=a. ③

(Ⅰ)令x>0,方程③变为x+2x=a. ④

2

2

由此可知:当a=0时,方程④无正根;

(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤

由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;

(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a. ⑥ 由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0; 当a>0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0;

情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y+2│y│=a. ⑦

(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y+2y=a,即(y-1)=1-a. ⑧ 由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.

2

2

2

从而, 当a=0时,方程⑧有正

根 y=2;

(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y-2y=a,即(y+1)=1-a. ⑨ 由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.

2

2

从而, 当a=0时,方程⑨有负根 y=-2;

所以,原方程的纯虚数解是: 当a=0时,z=±2i;

而当a>1时,原方程无纯虚数解. 解法二:设z=x+yi,代入原方程得

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a.