1990全国高考文科数学试题

(25)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│=a.

1990年试题(文史类)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. (1)A (2)C (3)D (4)B (5)D (6)C (7)A (8)B (9)A (10)C (11)B (12)D (13)A (14)C (15)B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.

依题意有

由②式得 d=12-2a. ③

整理得 a2-13a+36=0. 解得 a1=4, a2=9.

代入③式得 d1=4, d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x. 依题意,有

由①式得 x=3y-12. ③ 将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9.

代入③式得 x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解法一:由已知得

两式相除得

解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是

(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有

解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).

将②式代入①式,可得 sin(α-j)=sin(j-β). 于是 α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z), 或 α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).

若 α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z). 于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知 α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z). 即 α+β=2j+2kπ(k∈Z).

(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.

解法一:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴ SC⊥面BDE, ∴ SC⊥BD.

又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD. 而 SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.

∵ DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC, ∴ BD⊥DE,BD⊥DC.

∴ ∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵ SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.