【高考状元】数学错题本：第7章《数列》易错题(Word版,含解析)

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第7章 数列易错题

易错点1、已知Sn求an时, 易忽略n?1致错、

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【例1】已知数列{an}的前项和为Sn＝n2＋n＋1、求{an}的通项公式、

22

1111【错解】an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n＋1－2(n－1)2－2(n－1)－1＝n、所以an?n、 【错因】an?Sn?Sn?1成立的条件是n?2、当n?1要单独验证、

11【正解】当n＝1时、a1＝S1＝2＋2＋1＝2； 121121当n≥2时、an＝Sn－Sn－1＝2n＋2n＋1－2(n－1)－2(n－1)－1＝n. ?n,n?1当n＝1时不符合上式、所以an??、 ?n,n?2易错点2、利用等比数列前n项和公式时、忽略公比q?1致错、 【例2】求数列1,3a,5a2,7a3,......(2n?1)an?1,.....(a?0)的前n项和、 【错解】由于an?(2n?1)an?1(n?N*)、

Sn?1?3a?5a2?7a3?......?(2n?3)an?2?(2n?1)an?1

1 aSn? a?3a2?5a3?7a4?......?n?(2an??3)n?a(n21) 两式相减得(1?a)Sn?1?2a?2a?2a.....2a23n?11?an?(2n?1)an?1 ?(2n?1)a=2?1?an1?an(2n?1)an?1. ?Sn?2??(1?a)21?a【错因】上述解法只适合a?1的情形、

事实上、当a?1时、Sn?1?3?5?7?......?(2n?3)?(2n?1)?n(1?2n?1)?n2

2?1?an(2n?1)an?1?,a?1?2?2(1?a)1?a【正解】Sn??、 ?n2,a?1?易错点3、忽略数列与函数的区别致错、

?ax?5,x?6?【例3】已知函数f(x)??、数列{an}满足an?f(n)（n?N*）、且数a?(4?)x?4,x?6?2列{an}是单调递增数列、则的取值范围是_______、

??a?1??a【错解】由题有?4??0、得7?a?8、

?2a?6?5(4?)?6?4?a??2【错因】忽略数列与函数的区别致错、实际上、数列是一串离散的点、不能直接将n?6带入

到分段函数的两个部分进行比较、

?a?1?a48??a?8、 【正解】由题有?4??0、得7?2??f(5)?f(6)【例4】 已知数列an?n2?tn?2在[2,??)是递增数列、则实数的取值范围是_______、 【错解】依题意、n?t?2、解得t?4、所以的取值范围是(??,4]、 2【错因】数列的定义域是全体的正整数、不是实数、所以不能按照函数的处理办法、 【正解】依题意、a2?a3、即4?2t?2?9?3t?2、故t?5、

易错点4、数列的定义域是全体的正整数、

【例5】已知数列an?13?3n、其前项和为Sn、则Sn的最大值是________、 【错解】由题意、a1?10、Sn?最大、最大值是为Sn?(10?13?3n)n32352923??(n?)2?、当n?时、Sn的

226246529、 24(10?13?3n)n323529??(n?)2?、当n?4时、

22624【错因】数列的自变量是正整数、不能取非正数、 【正解】方法1：由题意、a1?10、Sn?23?4?3?42?22、 离二次函数对称轴最近、所以Sn的最大值是为S4?2方法2：令an?13?3n?0、解得n?13、即{an}前4项为正数、后面项均为负数、所4

23?4?3?42?22、 以Sn的最大值为S4?2

易错点5、乱用结论致错、

【例6】已知等差数列?an?的前m项、前2m项、前3m项的和分别为Sm,S2m,S3m、若

Sm?30,S2m?90、求S3m、

【错解】因为Sm?S3m?2S2m、Sm?30、S2m?90、所以S3m?2S2m?Sm?150、 【错因】以为?an?为等差数列、则Sm,S2m,S3m也是为等差数列致错、 【正解】设数列的公差为d、则Sm?a1?a2?a3?......?am、

S2m?a1?a2?a3?......?am?am?1?.....?a2mS3m?a1?a2?a3?......?a2m?a2m?1?.....?a3m

Sm?(a1?m?13m?15m?1)m、S2m?Sm?(a1?)m、S3m?S2m?(a1?)m 222m3、

所以Sm,S2m?Sm,S?Sm2是

公差为m2d的等差数列、所以

、2?S2m?S?m?Sm?3Sm?2 Sm即2?(90?30)?30?S3m?90、?S3m?180、

易错点6、乱设常量致错、

【例7】数列?an?与?bn?的前项和分别为Sn,Tn、且Sn:Tn?(5n?13):(4n?5)、则

a10:b10?_______

【错解】Sn?(5n?13)k,Tn?(4n?5)k、则an?Sn?Sn?1?5k、bn?Tn?Tn?1?4k、所以

a10:b10?5:4、

【错因】从Sn:Tn?(5n?13):(4n?5)可知、比值Sn:(5n?13)=Tn:(4n?5)随着项数的变化而变化、不能设为常数、这里忽略了项数的可变性而致错、

【正解】设Sn?(5n?13)nk,Tn?(4n?5)nk、则an?Sn?Sn?1?(10n?8)k、

bn?Tn?Tn?1?(8n?1)k、其中n?2、?an:bn?(10n?8):(8n?1)、所以a10:b10?4:3、