2020-2021中考数学锐角三角函数的综合复习附详细答案

又∵CB=4， ∴BF=4－，

∵AB=6，DE=1，BM= DF=， ∴AN=5－，EN=DM=BF=4－， 在Rt△ANE中，∠EAB=tan

=

，EN=4－，AN=5－，

=0．60，

解得=2．5，

答：DM和BC的水平距离BM为2．5米． 考点：解直角三角形．

5．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE. 特殊发现：

如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）． 问题探究：

把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．

(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记

AC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说） BC

【答案】?1? PC?PE成立 ?2? ，PC?PE成立 ?3?当k为角形 【解析】 【分析】

3时，VCPE总是等边三3（1）过点P作PM⊥CE于点M，由EF⊥AE，BC⊥AC，得到EF∥MP∥CB，从而有

EMFP?，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE． MCPB（2）过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，先证△DAF≌△EAF，即可得出AD=AE；再证△DAP≌△EAP，即可得出PD=PE；最后根据

FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论．

（3）因为△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据多少即可． 【详解】

解：（1）PC=PE成立，理由如下：

如图2，过点P作PM⊥CE于点M，∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，∴

ACAC?k，=tan30°，求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是BCBCEMFP?，∵点P是BF的中点，∴EM=MC，又∵PM⊥CE，∴PC=PE； MCPB

（2）PC=PE成立，理由如下：

如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF和△EAF中 ，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA，AF=AF， ∴△DAF≌△EAF（AAS）， ∴AD=AE，在△DAP和△EAP中， ∵AD=AE，∠DAP=∠EAP，AP=AP， ∴△DAP≌△EAP（SAS）， ∴PD=PE，

∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC， ∴FD∥BC∥PM， ∴

DMFP?， MCPB∵点P是BF的中点， ∴DM=MC，又∵PM⊥AC， ∴PC=PD，又∵PD=PE， ∴PC=PE；

（3）如图4，∵△CPE总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵

ACAC?k，=tan30°， BCBC3， 3∴k=tan30°=∴当k为

3时，△CPE总是等边三角形． 3

【点睛】

考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．

6．问题背景:

如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ． （2）知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程． 【答案】解：（1）22．

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．

∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称． 过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE． 则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ． 在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/=\， ∴

∴BE+EF的最小值为【解析】

试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：

如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，

根据垂径定理得弧BD=弧DE．

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