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题8.17图
8.18. 如题8.18图所示, 3个质量相等的珠子只能沿水平圆轨道运动, 圆的半径为R, 珠
子由3个无质量的, 自然长度为2?R3的弹簧相联, 弹簧的劲度系数为k. (1) 试求系统的简正频率；
(2) 假设初始时3质点静止, 质点2和3在它们自己的平衡位置, 而质点1偏离了
?R6的距离, 求质点1,2,3的运动.
(3) 用计算机符号计算, 算出力学系统的简正频率和本征矢量.
题8.18图
第九章思考题
9.1. 在拉格朗日表述和哈密顿表述中, H均为?1, 在这两种表述中, H有
何不同?将它们加以区分的意义何在?
9.2. 哈密顿函数在什么情况下为常量? 在什么情况下为机械能? 9.3. 何谓泊松括号和泊松定理? 泊松定理有何功用?
???Lp?q??s第九章习题
9.1. 一质量为m的质点, 在半径为R的光滑固定球面上运动, 试建立此质点的正则方程,
并判断存在的守恒量. 9.2. 试建立复摆的正则方程.
9.3. 如题9.3图所示, 质量分别为m1, m2的小球同串在一根光滑的水平杆上, 两球用劲
度系数为k的弹簧连接, 弹簧原长为l. (1)试从哈密顿函数判断是否存在广义能量积分和广义动量积分, 并写出表达式；(2) 应用正则方程, 写出两小球的运动微分方程.
题9.3图
9.4. 如题9.4图所示, 一质点用两弹簧连接, 在一直线上运动.已知质点的质量为,弹簧的
劲度系数为k, 原长均为固定点间距离的一半, 弹簧质量不计. 试写出系统的哈密顿函数,并用正则方程, 求出质点的运动学方程.
??p9.5. 试求由质点系的动量和角动量L在直角坐标系中各个分量所组成的泊松括号.
9.6. 求证:
题9.4图
??????????,????,?????,????t???t? (1) ?t?,??????,??,??????,??,????0 (2) ??,?第十章思考题
??F?F(r)rr是保守力场. 10.1. 试从数学上证明有心力场
10.2. 可以试一试, 若用二维直角坐标建立行星的运动方程是否便于求解.
10.3. 教材中第十章方程(10.2.1)式及其解在适当改变后能否适用于平方反比斥力情况? 10.4. 研究人造地球卫星的运动是采用什么参考系? 三个宇宙速度是相对什么参考系而言
的? 10.5. 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为68.5, 比苏
联和美国第一次发射的都要大. 为什么说交角越大, 发射的难度越大? 交角大的优点是什么?
30m?1.99?10kg, 设想太阳在不断收缩, 密度不断增大. 试证10.6. 已知太阳的质量为
8c?2.998?10ms. 此时, 太阳3km当半径缩小为时, 太阳的逃逸速度将等于光速
?的引力将强到使一切物质都不能从太阳逃逸出来. 这种高密度的恒星被称为黑洞.
10.7. 将?粒子换为带负电的粒子,它的散射轨道应是怎样的?
10.8. 试证二体散射问题中相对质心系的散射角等于相对靶粒子参考系的散射角.
10.9. 试从非惯性系中动力学方程出发, 推导出教材中第十章二体相对运动方程(10.5.9)
式.
??mmv10.10. 在两体问题中, 若r表示质点1相对质点2的位矢, 表示质点m1相对质点m2的相对速度, 试证:
??r(1)两体相对质心的角动量为?uv；
2(12)uv(2)两体相对质心的动能为$.
第十章习题
10.1. 某天体沿偏心率为e的椭圆轨道运动, 如
试证
vp和
va为质点在近日点和远日点处的速率,
vpva?1?e1?e
3mcrm10.2. 如题10.2图所示, 质量为的质点在有心斥力场中运动, 式中r为质点到力
心O的距离, c为常数. 当质点离O点很远时, 质点的速度为v?, 而其轨道渐近线与O的垂直距离为?. 试求质点与O点的最近距离a.
题10.2图
10.3. 如题10.3图所示,一彗星离太阳的最近距离是地球圆轨道半径的12, 而彗星在该点
的速度为地球轨道速度的2倍, 试求彗星与地球轨道相交时的速度和交角, 及判断其轨道类型.
题10.3图
10.4. 在距月球中心为5倍月球半径处, 以速度
相切着陆. 试求发射角?.
22F??ker10.5. 氢原子中,带正电的核和带负电的电子之间的吸引力为, 设核固定不
动,原来在半径为R1的圆周上绕核运动的电子, 突然跳入较小的半径R2的圆轨道上运
v0发射一探测器, 欲使探测器与月球表面
动, 试求在这过程中原子总能量减少多少.
10.6. 一质量为m的质点在有心力场中运动, 已知它的掠面速度为h2, 某时刻从力心到
质点所在处轨道的切线的垂直距离为p. 试证此有心力的大小
mh2dp?2F?2dr 2210.7. 如质点受有心力作用做双钮线r?acos2?运动时, 试证质点所受力为
3ma4h2F??r7.
10.8. 质点在有心力作用下运动,此力的大小为质点到力心距离r的函数, 而质点的速率则
22与此距离成反比, 即v?ar, 如果a?h(h为掠面速度的2倍), 求质点的轨道方
程. 设当
r?r0时,??0.
310.9. 质量为m的质点受到一静止中心的吸引力F??2mr作用, 其中r是质点到引力中心的距离. 初始时,0,0, 0, 且初速方向与径向成45角, 试求质点的轨道.
10.10. 根据汤川(Yukawa)的核力理论, 中子与质子之间的引力具有如下形式的势能
r?1??0v?2?ke?? rV(r)?,k?0,??0r.
试求:
(1)中子与质子间的引力表达式, 并与平方反比力相比较；
?a(2)求在半径为的圆运动中质点的角动量L和能量E, 设质点的质量为m；
(3)求圆运动的周期、稳定的条件及径向微振动的周期.
10.11. 1970年4月24日,我国成功地发射了第一颗人造地球卫星, 它的近地点离地面的距
离为439km,远地点离地面为2 384km, 试求此卫星在近地点和远地点的速率v1和
v2, 以及它绕地运行的周期.
10.12. 一质点在有心力场F(r)??kr?2?Cr?3中运动,
(1) 试证它的轨道方程可以写成如下形式: r?p(1?ecos??), 当??1时, 轨道是椭圆； 当??1时, 轨道是一个进动的椭圆.
(2) 试求出后一个近日点比前一个近日点进动了多少角度.
10.13. 一质量为m的人造地球卫星在离地心距离为R的圆轨道上运行, 由于受稀薄气体
的粘性阻力FR?Av的作用(v为卫星的速率, A,?为常数), 卫星与地心距离r的变化率为drdt??c, c是一足够小的正的常数, 使得卫星运行一周损失的能量与总能量相比是小量. 设地球质量为mE, 试求A和?的表示式.
10.14. 设质量为m的质点受重力作用, 约束在半顶角为?的光滑圆锥面上运动. 试研究
质点在锥面上做水平圆运动的稳定性.
10.15. 两质点在引力作用下相互绕转, 做周期为?的圆运动, 假设在某一时刻运动突然停止, 两质点开始在引力作用下相互靠近, 试证经过时间?42后发生碰撞.
10.16. 历史上有人对火星的两个卫星是否由火星上的人发射的问题进行了有兴趣的探索,
其中有些科学家算出卫星的质量小, 但体积大, 因而认为内部是空的, 由此认为是人发射的.设火星绕太阳的运动和卫星绕火星的运动都是两体问题.太阳质量已知, 通过哪些量的测量可以计算出卫星的质量? 10.17. 以速率v1运动的质量为m1的粒子与另一质量为m2的静止粒子相碰时, 试证动能
中能够转化为热能部分的最大值正好等于碰撞前在质心坐标系中观察到的总动能.
?第十一章思考题
11.1. 为什么说刚体定点运动是刚体动力学中最核心、最困难的问题?
11.2. 刚体绕某轴以匀角速转动,问刚体对轴上不同点的角动量是否相同?对不同点的角动
量在此轴上的投影是否相同?
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