2019年高考数学(浙江,理科)一轮【第三章】导数及其应用 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

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第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

一、选择题

1．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )． A.C.

160

m 340

m 3

B.D.80

m 320 m 3

22

解析 v＝40－10t2＝0，t＝2，?(40－10t)dt＝

?0

103??10?

?40t－t??2＝40×2－

3??03?

×8＝

160

(m)． 3

答案 A

2．已知f(x)＝2－|x|，则?2－1f(x)dx等于

?A．3

B．4

7

C.2

9D.2

( )．

?2－x?x≥0?，

解析 f(x)＝2－|x|＝?

?2＋x?x<0?，

22xx??????23

?＝＋∴?2－1f(x)dx＝?0－1(2＋x)dx＋?2(2－x)dx＝?2x＋2??0－1＋?2x－2??????02????

0

7

2＝2. 答案 C

3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示， 则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

( )． 4

B.3

1A.3

C．2

8D.3

解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax?2a×?－1?＋b＝0，?a＝1，

＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有?∴?∴f(x)＝x2

?2a×0＋b＝2，?b＝2.＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝?0－2(－x2－2x)dx

?＝

???－13x3－x2?????0132

4?－2＝3×(－2)＋(－2)＝

3. 答案 B

n4．已知a＝? 1??i?

?2，n∈N*，b＝?1x2dx，则a，b的大小关系是( )．i＝1

n?n??

0A．a>b B．a＝b C．a

答案 A 5．下列积分中

①?e1

4－x2

?xdx；②?2－2x dx；③?21??0π

dx； ④∫π

cos 2x2

0

x－sin xdx，积分值等于1的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ①

?e1

??xdx＝ln x?e

1＝1， 1

?

②

??2

－2xdx＝12?2

2x??－2

＝0， ③?2

4－x2?πdx＝1π(1

4π22)＝1， 0④∫

πcos 2x202

cos x－sin dx＝12∫π

x2

0(cos x＋sin x)dx

1π

＝(sin x－cos)|0＝1. 22答案 C

6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝x围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是

( )．

1A.2

1

B.6

1

C.4

1D.3 解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于?1

?01?231??11

(x－x2)dx＝?3x2－3x3??0＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，3???3选D. 答案 D 二、填空题

7．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为______．

解析 由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，W＝∫0100xdx＝0.18(J)． 答案 0.18 J

1

8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．

0.06

x答案

3

－ln 2 2

?2x＋1，x∈[－2，2]，403

9．已知f(x)＝?若f(x)dx＝?23(k<2)．则k＝________. ?k?1＋x，x∈[2，4]

40

解析 ?3f(x)dx＝?2(2x＋1)dx＋?3(1＋x2)dx＝3，所以得到k2＋k＝0，即k＝0

?k?k?2或k＝－1. 答案 0或－1

1??

10．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且?2f(－x)dx＝m，则?mx＋6?12展开

???1

式中各项的系数和为________．

解析 因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以?2f(－

?11??251??1?

x)dx＝?2(x2－x)dx＝?3x3－2x2??1＝6＝m所以?mx＋6?12展开式中各项的系数

??????1?51?和为?6＋6?12＝1.

??答案 1 三、解答题

172f?x?11．已知f(x)是一次函数，且?f(x)dx＝5，?xf(x)dx＝6，求?xdx的值．

?0?0?1

1

1

解 ∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)． 1?1??

∴?1f(x)dx＝?1(ax＋b)dx＝?2ax2＋bx??＝2a＋b.

???0??

0

0

1

1

∴2a＋b＝5.①

又?1xf(x)dx＝?1x(ax＋b)dx ?0?01??11?1

＝?3ax3＋2bx2??＝3a＋2b. ???01117∴3a＋2b＝6.②

解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3， 4x＋332?4＋?∴?xdx＝?xdx＝??dx x???1?1?1?

2f?x?

21

?

＝(4x＋3ln x)?＝4＋3ln 2.

?1

2