东南大学电类专业高等数学期末考试试卷04上

线 名姓 封 密 号学东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）

课程名称 高等数学（电） 考试学期 04-05-2

得分

适用专业 电类各专业 考试形式

闭卷 考试时间长度 150分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 得分 一. 填空题（每小题4分，共20分）

1．函数f?x????1???1?x?的间断点 是第 类间断点.

??2. 已知F?x?是f?x?的一个原函数,且f?x??xF?x?1?x2,则f?x?? .

3.

?1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx? .

4. 设f?x???x?sint0???11?u4du???dt,则f???0?? . 5. 设函数f?x???2xdtx则当x? 时,取得最大值.

1?t3?x?0?,二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. 设当x?x0时,??x?,??x?都是无穷小???x??0?,则当x?x0时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]

(A)?2?x???x? (B)?2?x???2?x?sin1x (C)ln?1???x????x?? (D)??x????x?

12. 曲线y?ex2arctanx2?x?1?x?1??x?2?的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

3. 微分方程y???y??2y?xe2x的一个特解形式为y?? [ ]

(A) ?ax?b?x2e2x (B) axe2x (C) ?ax?b?e2x (D) ?ax?b?xe2x

4. 下列结论正确的是 [ ]

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(A) 若?c,d???a,b?,则必有

?dcf?x?dx??f?x?dx.

ab(B) 若f?x?在区间?a,b?上可积,则f?x?在区间?a,b?上可积. (C) 若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

?a?Taf?x?dx??f?x?dx.

0T(D) 若f?x?在区间?a,b?上可积,则f?x?在?a,b?内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)

?ln?cost??t?dt?1. lim

x20x?0x32. 设函数y?y?x?是由方程x?y?ye22xy?2所确定的隐函数,求曲线y?y?x?在点

?0,2?处的切线方程.

3. 4.

???0xcos2x?cos4xdx

arctanxdx。 3x??1?y???y?x?sinx?5. 求初值问题 ? 1 的解。

?y?0??1,y?0????2?四.(8分) 在区间?1,e?上求一点?,使得图中所示

Y1y?lnx阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小. O五.(7分) 设 0?a?b,求证 lnb2?b?a?.?aa?b1?eX

六.(7分) 设当x??1时,可微函数f?x?满足条件

f??x??f?x??且f?0??1,试证:当x?0时,有 e1xf?t?dt?0

x?1?0?f?x??1 成立.

?x

.(7分) 设f?x?在区间??1,1?上连续,且

?1?1f?x?dx??f?x?tanxdx?0,

?11

证明在区间??1,1?内至少存在互异的两点?1,?2,使f??1??f??2??0.

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04-05-2高等数学(电类)期末试卷答案及评分标准 05.1.14

一. 填空题(每小题4分,共20分)1. 0,一; 2.

Cx1?x2; 3. 4e; 4. 1; 5. 3

?13.4

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. A; 2.B; 3. D; 4.C.三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=

ln?cosx??x2limx?03x22. 2x?2yy??y?e(??3分)?xy11cosx?11?lim(??2分)?33x?0x26??4分??2分?yexy?y?xy???0

将点?0,2?代入得y??0??

4(??1分)3y?4x?2(或4x?3y?6?0)??2分33. 原式 =

?2?0

?sinxcosxdx???3分????2sinxcosxdx???2分??0??2??2分1?arctanx4. 原式???2?x2=

??1????1?dx?x2?1?x2????3分

?8?1???11??dx?22??121?x??x???2分??12??2分

5. 对应的齐次方程的通解为 y?C1cosx?C2sinx??2分

非齐次方程y???y?x的一个特解为y1?x???1分?,非齐次方程y???y?sinx的一个特解为y2??

xxcosx???1分?,原方程的通解为 y?C1cosx?C2sinx?x?cosx22

(??1分),利用初值条件可求得 C1?1,C2??1, 原问题的解为

xy?cosx?sinx?x?cosx2??2分

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四.(8分) V?t????1?lnx?t2dx?2分????(1??lnx?)dx?2te2分?

?????2t?lnt??4tlnt?3t?2?令V??t????2?lnt??1??0,???x?lnx??2xlnx?2x??22t121??x?lnx??2xlnx?2x2?et?e?t???

2分得t?e12(?12?1分),且V???e??0????因此t?e12是V?t?在?1,e?上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,

故??e2是最小值点.

??1分

五.(7分) 设

b2?t?1??t,原不等式等价于lnt?,t?1, 即等价于

at?1??3分

f?t???t?1?lnt?2?t?1??0,t?11f??t??lnt??1,f??1??0??1分

t11f???t???2?0,t?1,且等号当且仅当t?1时成立 ??1分ttf?1??0,因此f??t?单增,f??t??f??1??0,式得证. ??2分

t?1从而f?t?单增,f?t??f?1??0,t?1,原不等

六.(7分)由题设知f??0???1, ??1分所给方程可变形?x?1?f??x???x?1?f?x???f?t?dt?00x两端对x求导并整理得 ?x?1?f???x???x?2?f??x??0??1分

Ce?x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 f??x??1?x??2分

由于f??0???1,得C??1,e?xf??x????0,1?xf?x?单减,而f?0??1,所以当x?0共 5 页 第 4 页

时, f?x??1(??1分),对

e?xf??x????0 在?0,x?上进行积分

1?x??2分

xe?tf?x??f?0???dt?1??e-tdt?e?x01?t0xx七.(7分) 记F?x???f?t?dt,则F?x?在??1,1?上可导,且F??1??F?1??0??2分?1

若F?x?在??1,1?内无零点,不妨设F?x??0,x???1,1?11

122????0??f?x?tanxdx??tanxdF(x)?F?x?tanx1?Fxsecxdx??Fxsecxdx?0?1???1?1?1?11此矛盾说明F?x?在??1,1?内至少存在一个零点x0,??2分

对F?x?在??1,x0?,?x0,1?上分别使用Rolle定理知存在?1???1,x0?,?2??x0,1?,使得

F???1??F???2??0,即 f??1??f??2??0

??3分

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