概率论教案

?(3)互斥关系(互不相容)：事件A与事件B不能同时发生，则称A与B为互斥事件或互不相容事件。即 A∩B＝Φ A?

2、事件的运算

B(1)和事件(事件的并)

?BAA发生或B发生，即A,B至少有一个发生，称为A,B的和事件（并）.记作：A?B或A?B.(2)积事件(事件的交)

?(3)事件的差 ?ABA,B同时发生，称为A,B的积事件(交),记作：AB或A?BAS A发生，但B不发生，称为A,B的差事件.记作：A?B

BAB??,且A?B??则称事(4)对立事件(互逆事件) 若事件A与事件B满足条件

件A与事件B为对立事件。记作： B?AA注意：“对立”与“互斥”是不同的概念 ① 对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立。

B② 在一次试验中，互斥的两事件有可能都不发生，但对立事件必有一个发生。 补充说明：

由于事件是用集合表示的，所以事件的关系与运算与集合的运算完全相同。 例1 设A，B，C是三个事件，则

(1) “A发生而B，C都不发生”可表示为：

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(2) “A与B发生而C不发生”可表示为：

(3) “A，B，C三个事件至少发生两个”可表示为：

例2.向一目标射击3枪,分别用A1,A2,A3表示第1,2,3枪命中目标,

试用A1,A2,A3表示下列各事件.

(1)只有第1枪命中；

(3)至少有2枪命中;作业： P5?6习题一4、6

(2)至少有1枪命中；(4)3枪都没有命中.

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第二章 事件的概率

第一节 概率的概念

一、概率的含义

对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。

二、概率的统计定义

在一般情况下，对一个随机试验，如何度量随机事件发生的可能性的大小呢？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。

设随机事件A在n次试验中发生了r次，则称比值 r/n为这n次试验中事件

rf(A)?A发生的频率，即 nn在了解了定义之后，我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征： 如抛硬币的试验：历史上抛硬币试验的若干结果

实验者 德莫根 蒲 丰 费 勒 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 出现正面次数 频 率 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 10000 4979 0.4979 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（n次）

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试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的。因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。 频率稳定性：指的是：当各轮试验次数n1,n2,?,ns 充分大时，在各轮试验中事件

A出现的频率之间、或者它们与某个常数相差甚微。

即是说，在试验次数足够大的条件下，各频率都能够与某个常数比较接近。 这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路。在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值。并称此概率为：统计概率。这种确定概率的方法称为频率方法。

概率的统计定义：在相同条件下重复进行的n次试验中, 事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动, 且随n越大摆动幅度越小, 则称p为事件A的概率, 记作P(A)

对本定义的评价：优点——直观、易懂；缺点——粗糙、模糊、不便使用 注：1、给出了概率的近似求法。

2、实际中被大量应用，且有时是必须的。 三、概率的性质

1、非负性：0?P(A)?12、正则性：P(?)?1(1)(2)(3)3、可列可加性:若A1,A2,?两两互不相容，则有P(A1?A2??)?P(A1)?P(A2)??第二节 古典概型

古典概型是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征: （1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限，分别记为

?1,?2,?,?n,样本空间可表示为 ????1,?2,?3,?,?n?；9