2019届高考数学复习三角函数与解三角形第2讲解三角形教案

平面图形中计算包括线段长度、图形面积、角度等,基本思想是找出平面图形中的可解三角形,通过解三角形计算出相关的元素,得出求解目标. 热点训练:(1)(2018·广西二模)我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”,设△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则

“三斜求积公式”为S=

2

.若asin C=24sin A,a(sin C-sin

2

B)(c+b)=(27-a)sin A,则用“三斜求积公式”求得的S等于( )

(A) (B) (C) (D)

(2)(2018·河南省高三最后一卷)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+(3)

bsin A=csin C,a=2,b=2

,则sin B= ;

(2018·山东潍坊青州三模)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=

,BC=

,AB⊥AD,AC⊥

CD,AD=3AC,则AC= ;

(4)(2018·广西省柳州市一模)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B-bcos A=0.

①求A; ②当a=

,b=2时,求△ABC的面积.

2

2

(1)解析:由asin C=24sin A可得ac=24a, 所以ac=24,

由a(sin C-sin B)(c+b)=(27-a)sin A可得 a(c-b)(c+b)=(27-a)a, 整理得a+c-b=27,

结合三角形面积公式可得

2

2

2

2

2

S=

=

=.

故选D.

(2)解析:因为asin A+bsin B+所以a+b+

2

2

bsin A=csin C,

ab=c.

2

由余弦定理得cos C=又0

=-,

所以C=

2

2

2

.

c=a+b-2abcos C

=2+(2=20, 所以c=2

2

)-2×2×2

2

×-

.

由正弦定理得=,

即=,

解得sin B=.

答案:

(3)解析:设AC=x,AD=3x, 在直角△ACD中,得CD=

=2

x,

所以sin∠CAD==,

在△ABC中,由余弦定理得

cos∠BAC==,

由于∠BAC+∠CAD=,

所以cos∠BAC=sin∠CAD,

即=

2

,

整理得3x-8x-3=0, 解得x=3.即AC=3. 答案:3

(4)解:①因为asin B-bcos A=0,

sin B cos A=0,

由正弦定理,得sin A sin B-又sin B≠0,从而tan A=

,

由于0

②法一 由余弦定理,得a=b+c-2bccos A,

2

2

2

而a=,b=2,A=,

2

得7=4+c-2c, 即c-2c-3=0.

因为c>0,所以c=3,

2

故△ABC面积为bcsin A=.

法二 由正弦定理,得=,

从而sin B=.

又由a>b知A>B,

所以cos B=,

故sin C=sin (A+B)

=sinB+

=sin B cos +cos B sin

=,

所以△ABC的面积为absin C=.

解三角形与三角函数的综合

考向1 三角函数方法求三角形中的最值和范围

【例4】 (1)(2018·安徽江南十校二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A

是B和C的等差中项,·>0,a=,则△ABC周长的取值范围是( )

(A), (B),

(C), (D),

(2)(2018·福建厦门二检)等边△ABC的边长为1,点P在其外接圆劣弧AB上,则S△PAB+S△PBC的最大值为 .

解析:(1)因为A是B和C的等差中项,

所以2A=B+C,所以A=, 又

·

>0,则cos(π-B)>0,

从而B>,所以

因为====1,

所以b=sin B,c=sin C=sin所以△ABC的周长为

-B,

l=a+b+c=+sin B+sin-B

=sinB++,