广东省2015届高三数学理专题突破训练：数列

的认识. 法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供） 当n?1时，

131113?1?显然成立.当n?2时，??1??显然成立. a12a1a252nn?1?Cn?2n?1?2n?2n

12?2?Cn?22?当n?3时，an?3n?2n??1?2??2n?1?Cn12?1?Cn?2?Cn?22?n?12?Cn?2n?1?Cn?22?2n?n?1?，又因为a2?5?2?2??2?1?，所以

a1n?2n?n?1?（n?2），所以a?11?11?2n?n?1??2??n?1?n??（n?2），所以 n11a??1??1a?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1?31a2a3n2?234n?1n???1?2??1?n???2. 综上所述，命题获证. 4、(1) bn?1?bn?1n(n?1)；(2) an?2n?1

解析：（1） ∵S1n?2(n?1)(aS1n?1)?1，∴n?1?2(n?2)(an?1?1)?1 ∴aS1n?1?n?1?Sn?2[(n?2)(an?1?1)?(n?1)(an?1)]，整理得nan?1?(n?1)an?1，两边同时除以n(n?1)得

an?1n?1?an1n?n(n?1)， 即b1n?1?bn?n(n?1)， (2)由（1）知b1n?1?bn?n(n?1)即an?1n?1?an1n?n(n?1)，所以

ananan?1an?1an?2aaan?n?n?1?n?1?n?2??22?11?11 ?1n?1n?1?1n?1?1111n?2?n?2?n?3??2?1?3 ?1n?2，得an?2n?1. 5、 解析：（1）由S5?25得a1?2d?5 ⑴ ------1分 又S1?a1,S2?2a2?14?1?2?d?2a，S31?d4?4a1?2?d?4a1?6d -----2分 由题意得：(2a21?d)?a1(4a1?6d) ---------3分 即d(d?2a1)?0,又d?0,?d?2a1 ⑵ 联立⑴、⑵解得a1?1,d?2 4分

等式

?an?a1?(n?1)d?2n?1 -------5分

（2）证明：由（1）得Sn?①当n=1时，b1?1?n?1?2n?1?11?n2 ?bn??2------6分

2Snn7，?原不等式成立。 4157②当n=2时，b1?b2?1???，?原不等式成立。

444③当n ?3时，

n2??n?1??n?1? ?11??1222?1 n2111?11??????---------9分 n2?n?1??n?1?2?n?1n?1??b1?b2?<1+

?bn?12 ??1????????1??11??11??11????????????3??24??35??46?1???1???? -----11分 ?n?1n?1??= 1?71?111?71?11??= --------13分 1??????????42?2nn?1?42?nn?1??当n?3时原不等式成立。

7 -------14分 426、解析：（Ⅰ）由已知an?1?an?2an，?an?1?1?(an?1)2

综上，对一切正整数n有b1?b2?bn?a1?2?an?1?1，两边取

对数得

lg(1?an?1)?2lg(1?an)，即

lg(1?an?1)?2 ?{lg(?1anlg(1?an)是公比为2的等比数列. )}n?1（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(1?an)?2n?1?lg(1?a1) ?2n?1?lg3?lg32 ?1?an?32（1）

n?1?Tn?(1?a1)(1?a2)…(1+an) ?32?32?32?…?32 ?31?2?2n?1012n-12?…+2n-1=32n-1

（Ⅲ） 由（1）式得an?32?1

1111?(?) an?12anan?2?112?? an?2anan?12Qan+1=an+2an?an?1?an(an?2) ?又bn?1111??bn?2(?) anan?2anan?111111111????…+?)?2(?) a1a2a2a3anan?1a1an?1

?Sn?b1?b2?…+bn ?2(

an?32n?1?1,a1?2,an?1?3?1?Sn?1?2n23?12n

7、解：本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力． （1）（解法一）

依题意，2S1?a2?12?1?,又S1?a1?1，所以a2?4 ………（2分） 332Sn?nan?1? 当n?2时，132n?n2?n， 33 2Sn?1?(n?1)an?(n?1)?(n?1)?两式相减得

13322(n?1) ， 312122an?(nan?1?n3?n2?n)?((n?1)an?(n?1)3?(n?1)2?(n?1))

3333整理得 (n?1)an?nan?1?n(n?1)，即又

an?1an??1， ………（6分） n?1na2a1?a???1，故数列?n?是首项为1，公差为1的等差数列， 21?n?所以

an?1?1?(n?1)?n,所以an?n2 ………（8分） n（解法二） ?

2Sn12?an?1?n2?n? ， a1?1，得a2?4，a3?9， .......（2分） n33 猜想Sn?n?n?1?(2n?1) .............（3分）

6 下面用数学归纳法证明：

（1）当n?1时，猜想成立； （2）假设当n?k时，猜想也成立，即Sk? 当n?k?1时，

k?k?1?(2k?1) .............（4分）

6ak?1?2Sk1222?k?1?(2k?1)122?k?k?=?k?k? k33633

?(3k?3)?k?1?(2k?1)?(k?1)(k?2)?（k?1）2?（k?1），........（5分）

333 ?Sk?1?Sk?ak?1

k?k?1?(2k?1)(k?1)(2k2?7k?6)(k?1)(k?2)(2k?3)2 ? ?（k?1）??666 ?n?k?1 时，猜想也成立 ............（6分） 由（1），（2）知，对于?n?N?，猜想成立。 ?当n?2，an?Sn?S?n1（2）证明：当n?1时，?1?2?2n，当n?1，也满足此式，故an?n .........（8分）

1a17； ………（9分） 4当n?2时，?1a11157?1???； ………（10分） a24441111， ………（12分） ???2nn(n?1)n?1n?1111?1?2?2?2?an234?(当n?3时，?1an此时

11??a1a2?1 n2?1?11111?(?)?(?)?4233411111717?)?1?????? n?1n42n4n4综上，对一切正整数n，有

11??a1a2?17? ……………（14分） an48、解答： 解：（1）由

得，a1=1，d=2；

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）∴

Sn=b1+b2+b3+…+bn=

；

通过前几项的求和规律知： 若n为奇数，则

；

=

；