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广东省2015届高三数学理专题突破训练:数列

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  • 2025/7/5 13:00:48

的认识. 法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当n?1时,

131113?1?显然成立.当n?2时,??1??显然成立. a12a1a252nn?1?Cn?2n?1?2n?2n

12?2?Cn?22?当n?3时,an?3n?2n??1?2??2n?1?Cn12?1?Cn?2?Cn?22?n?12?Cn?2n?1?Cn?22?2n?n?1?,又因为a2?5?2?2??2?1?,所以

a1n?2n?n?1?(n?2),所以a?11?11?2n?n?1??2??n?1?n??(n?2),所以 n11a??1??1a?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1?31a2a3n2?234n?1n???1?2??1?n???2. 综上所述,命题获证. 4、(1) bn?1?bn?1n(n?1);(2) an?2n?1

解析:(1) ∵S1n?2(n?1)(aS1n?1)?1,∴n?1?2(n?2)(an?1?1)?1 ∴aS1n?1?n?1?Sn?2[(n?2)(an?1?1)?(n?1)(an?1)],整理得nan?1?(n?1)an?1,两边同时除以n(n?1)得

an?1n?1?an1n?n(n?1), 即b1n?1?bn?n(n?1), (2)由(1)知b1n?1?bn?n(n?1)即an?1n?1?an1n?n(n?1),所以

ananan?1an?1an?2aaan?n?n?1?n?1?n?2??22?11?11 ?1n?1n?1?1n?1?1111n?2?n?2?n?3??2?1?3 ?1n?2,得an?2n?1. 5、 解析:(1)由S5?25得a1?2d?5 ⑴ ------1分 又S1?a1,S2?2a2?14?1?2?d?2a,S31?d4?4a1?2?d?4a1?6d -----2分 由题意得:(2a21?d)?a1(4a1?6d) ---------3分 即d(d?2a1)?0,又d?0,?d?2a1 ⑵ 联立⑴、⑵解得a1?1,d?2 4分

等式

?an?a1?(n?1)d?2n?1 -------5分

(2)证明:由(1)得Sn?①当n=1时,b1?1?n?1?2n?1?11?n2 ?bn??2------6分

2Snn7,?原不等式成立。 4157②当n=2时,b1?b2?1???,?原不等式成立。

444③当n ?3时,

n2??n?1??n?1? ?11??1222?1 n2111?11??????---------9分 n2?n?1??n?1?2?n?1n?1??b1?b2?<1+

?bn?12 ??1????????1??11??11??11????????????3??24??35??46?1???1???? -----11分 ?n?1n?1??= 1?71?111?71?11??= --------13分 1??????????42?2nn?1?42?nn?1??当n?3时原不等式成立。

7 -------14分 426、解析:(Ⅰ)由已知an?1?an?2an,?an?1?1?(an?1)2

综上,对一切正整数n有b1?b2?bn?a1?2?an?1?1,两边取

对数得

lg(1?an?1)?2lg(1?an),即

lg(1?an?1)?2 ?{lg(?1anlg(1?an)是公比为2的等比数列. )}n?1(Ⅱ)由(Ⅰ)知lg(1?an)?2n?1?lg(1?a1) ?2n?1?lg3?lg32 ?1?an?32(1)

n?1?Tn?(1?a1)(1?a2)…(1+an) ?32?32?32?…?32 ?31?2?2n?1012n-12?…+2n-1=32n-1

(Ⅲ) 由(1)式得an?32?1

1111?(?) an?12anan?2?112?? an?2anan?12Qan+1=an+2an?an?1?an(an?2) ?又bn?1111??bn?2(?) anan?2anan?111111111????…+?)?2(?) a1a2a2a3anan?1a1an?1

?Sn?b1?b2?…+bn ?2(

an?32n?1?1,a1?2,an?1?3?1?Sn?1?2n23?12n

7、解:本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法,考查化归与转化思想、分类与整合思想,考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力. (1)(解法一)

依题意,2S1?a2?12?1?,又S1?a1?1,所以a2?4 ………(2分) 332Sn?nan?1? 当n?2时,132n?n2?n, 33 2Sn?1?(n?1)an?(n?1)?(n?1)?两式相减得

13322(n?1) , 312122an?(nan?1?n3?n2?n)?((n?1)an?(n?1)3?(n?1)2?(n?1))

3333整理得 (n?1)an?nan?1?n(n?1),即又

an?1an??1, ………(6分) n?1na2a1?a???1,故数列?n?是首项为1,公差为1的等差数列, 21?n?所以

an?1?1?(n?1)?n,所以an?n2 ………(8分) n(解法二) ?

2Sn12?an?1?n2?n? , a1?1,得a2?4,a3?9, .......(2分) n33 猜想Sn?n?n?1?(2n?1) .............(3分)

6 下面用数学归纳法证明:

(1)当n?1时,猜想成立; (2)假设当n?k时,猜想也成立,即Sk? 当n?k?1时,

k?k?1?(2k?1) .............(4分)

6ak?1?2Sk1222?k?1?(2k?1)122?k?k?=?k?k? k33633

?(3k?3)?k?1?(2k?1)?(k?1)(k?2)?(k?1)2?(k?1),........(5分)

333 ?Sk?1?Sk?ak?1

k?k?1?(2k?1)(k?1)(2k2?7k?6)(k?1)(k?2)(2k?3)2 ? ?(k?1)??666 ?n?k?1 时,猜想也成立 ............(6分) 由(1),(2)知,对于?n?N?,猜想成立。 ?当n?2,an?Sn?S?n1(2)证明:当n?1时,?1?2?2n,当n?1,也满足此式,故an?n .........(8分)

1a17; ………(9分) 4当n?2时,?1a11157?1???; ………(10分) a24441111, ………(12分) ???2nn(n?1)n?1n?1111?1?2?2?2?an234?(当n?3时,?1an此时

11??a1a2?1 n2?1?11111?(?)?(?)?4233411111717?)?1?????? n?1n42n4n4综上,对一切正整数n,有

11??a1a2?17? ……………(14分) an48、解答: 解:(1)由

得,a1=1,d=2;

∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)∴

Sn=b1+b2+b3+…+bn=

通过前几项的求和规律知: 若n为奇数,则

=

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的认识. 法2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当n?1时,131113?1?显然成立.当n?2时,??1??显然成立. a12a1a252nn?1?Cn?2n?1?2n?2n 12?2?Cn?22?当n?3时,an?3n?2n??1?2??2n?1?Cn12?1?Cn?2?Cn?22?n?12?Cn?2n?1?Cn?22?2n?n?1?,又因为a2?5?2?2??2?1?,所以a1n?2n?n?1?(n?2),所以a?11?11?2n?n?1??2??n?1?n??(n?2),所以 n11a??1??1a?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1?31a2a3n2?234n?1n???1?2??1?n???2. 综上所述,命题获证. 4、(1) bn?1?bn?1n(n?1);(2) an?2n?1

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