北航2012年 第二学期 理论力学复习题

? （5） 故 a2?a1?r?联立求解，得：

a1?4mg8mg3mMg,a2?,T?

3M?8m3M?8m3M?8my4. 一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度及最高点与最低点的速度、加速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？

解：如题图所示坐标系oxyz。由于球作无滑滚动，球与地面的接触点A点为转动瞬心。以O为基点。设球的角速度????k，则

z?OP?xA题五.1图图5-4

?????????vA?v0???OA?v0i?(??k)?(?rj)?(v0?r?)i?0

??vr

设轮缘上任意一点p，OP与x轴交角为?，则

??OP?rcos?i?rsin?j

???????故vp?v0???OP?v0i?(??k)?(rcos?i?rsin?j)

???(v0?r?sin?)i?r?cos?j

???当??90时，得最高点的速度 vtop?2v0i

??当???900时，得最低点的速度 vbottom?vA?0

?????d?????ap?a0??OP???(??OP)?(??k)?[(??k)?(rcos?i?rsin?j)]

dt2????v02???rcos?i??rsin?j??(cos?i?sin?j)r当??90?和?90?时分别得到最高点和最低点的

2加速度

ON?atop2?v0v???j ??j, abottom?aA?rr20aCxC?O?fy5. 半径为a质量为m的圆柱体，沿着倾角为试求质心沿斜面运动?的粗糙斜面无滑动地滚下。的加速度。

x?mg图.25-5 题五图???mg解：方法1 ，在图中，为重力，N为约束反作用力的法向分量，f为约束反作用

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力的切向分量（即摩擦阻力）；xc?OO?，为圆柱体的质心在时间t内的位移（当t?0时，圆柱体自斜面的最高点o开始下滚），而?则为其所转过的角度。因为无滑动地滚下，则有约束方程

xc?a? （1）

令k为圆柱体对轴线的回转半径，则因Ic?mk，故动能为 T?2121?2 ?C?mk2?mx22?，故 ?c?a? 而 x1k22?c （2） T?m(1?2)x2a至于势能V（取静止时的势能为零）则为

V??mgxcsin? （3）

由

11mvc2?Ic?2?V?E 得 221k22?c?mgxcsin??E （4） m(1?2)x2a式中E为总能，是一常数。将（4）式对t求导，得

??c?xgsin?2 1?k2a方法2，取消约束后，约束反作用力的法向分量N及切向分量f和重力mg都是外力，故由

?C?Fxm?x??Mc，得圆柱体的动力学方程为 和 Ic??C?Fym?y?C?mgsin??f?m?x?0?N?mgcos??

????famk2???zo??，故由第一式和第三式将f消去，得 ?c?a?x因 ?gsin???C?x 2k1?a2?6.P点离开圆锥顶点o，以速度v?沿母线作匀速运动，此圆

锥则以匀角速?绕其轴转动。求开始t秒后P点绝对加速度的量值，假定圆锥体的半顶角为?。

y?o??px题 . 3 图图 五5-6

解：如图所示，直角坐标oxyz的原点位于圆锥顶点，ox轴过圆锥的对称轴。o?为P点在轴上对应的一点，且有o?P?x轴，所以P点的绝对加速度

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?????a?a???2R?2??v?

??? ?0??2o?P?2?i?v?(cos?i?sin?j)

??2???v?tsin?j?2?v?sin?k

故 a??v?sin??2t2?4

7. 如图所示，一质量为m半径为a的均质圆球，被握着静止在另一半径等于b的固定圆球的顶点。其后把手放开，使其自由滚下。求：（1）判断该体系属于刚体中的哪种运动形式，并说出该运动的自由度是几个？（2）当两球分开时，两球的联心线和竖直向上的直线间所成的角度?。

解:（1）平面平行运动，3个自由度。

（2）小球满足机械能守恒（如图选择零势能参考点）

?? mg(a?b)?mg(a?b)cosI?22mr 51212mv?I? 22由于是纯滚动故 v?r? 代入上式得 v?210(a?b)(1?cos?)

7 当小球离开球面时，小球与大球的作用力等于0，因此质心运动的法向方程为

v2mgcos??m

a?b整理得 cos??10?110?540 ??arc17178. 在光滑水平管内，有一质量为m的小球 。管以恒定的角速度?绕过管端的竖直轴转动，开始时小球相对于管静止在距转轴为2a处。求此后小球相对于管的运动规律和对管的压力。

解：通过受力分析可得其运动微分方程

????m?2xmx???Ry?mgmy??Rz???0?2m?xmz???2x?0 x从而得 ?

其通解为 x?Ae?t?Be??t

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??A?e?t?B?e??t x??0， 代入上两式得 当t?0时x?2a,x2a?A?B

A?B?0则 A?a,B?a 故

x?ae?t?ae??t?ch?t

对管的压力大小为

??2?m(a?e?t?a?e??t)?2ma?2sh?t 方向为垂直纸面向外 Nz?2?mxNy?mg 方向竖直向下

9. 如图所示，质量为m1的质点被限制在固定的光滑直线ox上滑动，另一质量为m2的质点，以一长度为l的无质量杆和m1相连，设杆仅在通过固定直线ox的竖直平面内运动，且二质点仅受重力作用。（1）试写出拉氏函数，并判断是否含有循环坐标，判断的依据是什么？（2）用拉格朗日方程求其动力学方程。

（x；?）解：（1） S?2，为广义坐标。

设任意时刻t，l与ox的夹角为?，m1距原点为x，则

m2Om1?x?x2?x?lcos???y2?lsin? .

?sin??2?x??l??x??cos??2?l??y11?sin?)2?(l??cos?)2] ?2?m2[(x??l?所以，动能为 T?m1x22? 选择ox轴所在平面为零势能参考点，故 V?m2glsin11?2?2x?sin?)?m2glsin? ?2?m2l(l???(m1?m2)x22?L?0。 由上式可知不显含x，x为循环坐标。判断依据为 ?xL?（2）代入保守系的拉格朗日方程得

?s2?2ml?(m1?m2??)x?m2lc?o?s??i?n????m?xm2l2?clos???msli?n?2g20

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