精品 - 专题归纳 - 四个功能关系

四个功能关系

一、四个功能关系 ............................................................................ 2 1.重力做功等于重力势能的减小量 ........................................... 2 2.弹力做功等于弹性势能的减小量 ........................................... 2 3.合外力做功等于动能的增加量 ............................................... 2 4.重力以外的其他力做的功等于机械能的增加量 .................... 2 二、例题 ........................................................................................... 2 1.重力做功等于重力势能的减小量 ........................................... 2 2.弹力做功等于弹性势能的减小量 ........................................... 3 3.合外力做功等于动能的增加量 ............................................... 3 4.重力以外的其他力做的功等于机械能的增加量 .................... 4 三、综合练习 ................................................................................... 5

功和能是不同的物理量。力做功时，必然伴随着能量的转化，而且功与能量转化的量值是相等的，并且单位相同（都是J），使得很多同学错误的认为：“功就是能，能就是功”，“功转化成了能”

在此，我们对功和能加以辨析，并且着重讨论一下它们的四个关系。

功是力对位移的积累，它和一段位移（一段时间）相对应，是一个过程量；而能是表征物体运动状态的物理量，它与一个时刻相对应，是一个状态量。

当物体运动状态发生变化时，物体的能都会相应的随之变化，做功是发生这种变化的一种方式，并且功的大小恰好等于能量变化的多少。简言之，就是指：做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度。这里可以把发生能量交换的两个物体的能量看作两个桶里的水，而功就是那把水从一个桶里舀进另一个桶里的瓢，物体间转化（转移）了多少能，看瓢有多大就行了，但瓢是会变成水的。

这里还要强调两点：一是力做功可以使物体间发生能的传递与转化，但能的总量是保持不变的，功只是扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都可由这个基本原理出发而得到。另外，想驾驭好功能关系处理好问题，什么力做功会引起哪种能量的改变，如何改变，是我们必须清楚的。

一、四个功能关系

1.重力做功等于重力势能的减小量

WG= -ΔEP （WG= EP初- EP末）

可以叫它“势能定理”

2.弹力做功等于弹性势能的减小量

WF= -ΔEP （WF= EP初- EP末）

也可以叫它“势能定理”

3.合外力做功等于动能的增加量

W外=ΔEk （W外= EK末-EK初）

也就是动能定理

使用动能定理应注意事项：1.明确研究过程（两个时刻确定一个过程）。2.确定研究过程里那些力做了功，表达出总功。3.找出初末动能，列方程求解。

4.重力以外的其他力做的功等于机械能的增加量

W其=ΔE机 （W其= E末-E初）

W其表示除重力以外的其它力做的功，可以叫它“机械能定理”。

值得一提的是，我们发现前两个都是“减小量”后两个都是“增加量”，所谓“减小量”就是拿初值减末值，常用“-Δ”表示，取正则说明该物理量减小，反之则增加；而“增加量”则是拿末值减初值，常用“Δ”表示，取正则说明该物理量增加，反之则减小。之前我们所熟悉的公式：a=Δv/Δt，其中的Δv就是增加量，Δv=vt-v0

例如：

重力做正功，物体的重力势能一定减小；反之物体克服重力做功，物体的重力势能一定增加。

弹力做多少正（负）功，弹性势能就减小（增加）多少。

二、例题

1.重力做功等于重力势能的减小量

例:1.如图所示，质量为m的小球从高为h的斜面上的A点滚下经水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达h/3处的D点时，速度为零，此过程中重力做的功是多少？

解：

法一：根据重力做功的特点，重力做功只与AD的高度差有关. 即WG=mg(h-h/3)=2mgh/3.

法二：根据重力做功与重力势能变化的关系来求.规定地面为参考平面，即： WG= -ΔEP= EP初- EP末=mgh - mgh/3=2mgh/3. 答案：2mgh/3 练习

1.质量为m的小球从距地面高为h处自由落下，碰地后弹起的高度为h/2，然后落下，碰地后再弹起，弹起的高度为h/4……，最后小球静止于地面上，求整个过程中重力做的功. 答案：mgh

2.弹力做功等于弹性势能的减小量

例:1.如图所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A以v0=5m/s的初速度滑下，与处于原长的弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。

解：WF= -ΔEP……①

又由能量守恒：mgh+mv2/2=ΔEP……② 联立，得：WF= -125J

另，本题也可以用动能定理，直接求弹力所做的功。 答案： -125J 练习：

1.如图所示，质量为m=2kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉到水平位置A处，且弹簧处于自然状态，由静止释放，小球到达距O点下方h=0.5m处的B点时速度为v=2m/s。求：小球从A运动到B的过程中弹簧的弹力做功。 答案：-6J

3.合外力做功等于动能的增加量

例:1.如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

解：选取物体在从A滑到C的过程研究，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，WfBC=-umgS，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。

根据动能定理可知：mgR-umgS+WAB=0 所以

即WAB=umgS-mgR=-6J 答案：-6J 练习

1.如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过O孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F时，圆周半径为R，当绳的拉力增大到8F时，小球恰可沿半径为R／2的圆周匀速运动在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为________.

2.如图所示，质量为m的物块与水平转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转台转轴相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将开始滑动，此时物体开始匀速转动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功是（ ）

R 1A．μmgR B．2πmgR

2C．2μmgR D．0

答案：1.3FR/2 2.A

4.重力以外的其他力做的功等于机械能的增加量

例:1.足球比赛时，某方获得一次罚点球机会，该方一名运动员将质量为m的足球以速度v0踢出，结果足球以v撞在高为h的门梁上被弹出。如果当地的重力加速度为g，则此足球在空中飞向门梁的过程中克服空气阻力所做的功为（ ）

A.

111122mv0?mv2?mgh B. mv2?mv0?mgh 2222C. mgh?1211122mv?mv0 D. mgh?mv0?mv2 22221212mv?mv0) 22解:Wf克=-Wf=-(E末-E初)=-( mgh?答案：A

练习

1.将一物体以从地面竖直上抛，能上升到最大高度为H, 当物体上升到某一高度h时，它的动能恰为重力势能的两倍，在下落至离地高度h处，它的势能是动能的两倍，则h等于？（设所受阻力大小恒定，地面为零势能面）

A．H/9 B．2H/9 C．4H/9 D．无法判断 答案：1.C