行列式的计算技巧与方法总结

2.3.1 按某一行（或列）展开

x00例6 解行列式Dn??0an解：按最后一行展开，得

?1x0?0an?10?1x?0?????000?x000. ??1a1an?2?a2Dn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an.

2.3.2 按拉普拉斯公式展开

拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k?1?k?n-1?个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即

其中Ai是子式Mi对应的代数余子式． D?M1A1?M2A2???MnAn，即

AnnCnnAnn00Bnn?Ann?Bnn，

Cnn?Ann?Bnn. Bnn?b例7 解行列式Dn?b?baaa?????a???????????.

?????解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加

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到第二列，得

?bDn?0?0aaa?a?????0?????0??0??0

???0????aa?a?b?0?0??n?1?a???n?2??0?0?????0??0??0???0????0?0???0????n?2?b?n?1?a???n?2???????0???????n?2????n?1?ab??????.

2.4 升阶法

就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．

其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．

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011?11101?11110?11??????111?01111?10例8 解行列式D=.

解：使行列式D变成n?1阶行列式，即

111?11001?11D?010?11??????011?01011?10.

再将第一行的??1?倍加到其他各行，得：

1?1??1?110?0010?00????100?0100?0?1?1?1D=

?1?.

??1从第二列开始，每列乘以??1?加到第一列，得：

?（n?1)0D?0?001?10?0010?00????100?0100?0?1?1?

??1???1?n?1?n?1?.

2.5数学归纳法

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有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．

cos?10?0012cos?1?0001?00????000?1000?12cos?例9 计算行列式Dn?2cos??.

?2cos?解:用数学归纳法证明. 当n?1时，D1?cos?. 当n?2 时，D2?cos?11?2cos2??1?cos2?.

2cos?猜想，Dn?cosn?.

由上可知，当n?1，n?2时，结论成立．

假设当n?k时，结论成立．即：Dk?cosk?.现证当n?k?1时，结论也成立．

cos?10?0012cos?1?0001?00????000?1000?12cos?当n?k?1时，Dk?1?2cos??.

?2cos?将Dk?1按最后一行展开，得

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