结构化学习题集

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习题1:

1.1 在黑体辐射中，对一个电热容器加热到不同温度，从一个针孔辐射出不同波长的极大值，试从其推导Planck常数的数值：

T/℃ 1000 1500 2000 2500 3000 3500 ?max/nm 2181 1600 1240 1035 878 763

1.2 在地球表面，太阳光的强度是1.0×103W/m2， 一个太阳能热水器水箱涂黑面直对阳光。按黑体辐射计算，热平衡时水箱内水温可达几度？（忽略水箱其它表面的热辐射）

1.3 计算波长为600nm(红光),550nm(黄光),400nm(蓝光)和200nm(紫光)光子的能量。 1.4 某同步加速器,可把质子加速至具有100×109eV的动能,试问此时质子速度多大？ 1.5 Al的电子逸出功是4.2eV，若用波长200nm的光照射Al表面，试求： （1）光电子的最大动能 （2）Al的红限波长

1.6 具有0.2nm波长的电子和光子，它们的动能和总能量各是多少？ 1.7 计算下列粒子的德布洛意波长 (1) 动能为100eV的电子; (2) 动能为10eV的中子; (3) 速度为1000m/s的氢原子.

1.8 质量0.004kg子弹以500ms-1速度运动，原子中的电子以1000ms-1速度运动,试估计它们位置的不确定度, 证明子弹有确定的运动轨道, 可用经典力学处理, 而电子运动需量子力学处理。 1.9 用测不准原理说明普通光学光栅(间隙约10-6m)观察不到10000V电压加速的电子衍射。

1.10 小球的质量为2mg , 重心位置可准确到2μm, 在确定小球运动速度时,讨论测不准关系有否实际意义?

?2a?1.11 一个粒子的某状态波函数为?(x)??????关系。

1.12 判断下列算符是否是线性厄米算符： （1）

1/4e??x2，a为常数，???x???,证明?x?px满足测不准

d?x2 （2）?2 （3）x1+x2 （4）e dXd的本征函数？若是，求其本征值： dX1.13 下列函数是否是

（1）exp（ikx） （2）coskx （3）k （4）kx

1.14 氢原子1s态本征函数为?1s?Ne?r/a0（a0为玻尔半径），试求1s态归一化波函数。

1.15 已知一维谐振子的本征函数为

?n(?)?(?1)anen2（?x）22dn?（?x） end（?x）其中an和α都是常数，证明n=0与n=1时两个本征函数正交。

1.16 若e??x是算符[d2/dx2?Bx2]的本征函数 (B为常数), 试求α值，并求其本征值。

2?,p?x], [x?,p?x] 1.17 计算 Poisson 方括 [x1.18 证明Poisson 方括的下列性质:

2?B?]?A?[B?]?[A?,C?]B?,C?,C? (1) [A?,[B?]]?[B?,A?]]?[C?,[A?,B?,C?,[C?]]?0 (2) [A1.19 计算下列算符的对易子 (1)x,??dx???d??d2?(?2)x?,dx??x?ip?x?ip???a(3a),a?a?,1/ 2??21/221.20 角动量算符定义为:

Lx?ypz?zpy, Ly?zpx?xpz, Lz?xpy?ypx

22 L2?L2x?Ly?Lz

证明: (1) [Lx,Ly]?i?Lz (2) [L2,Lz]?0

??q?)?(p??q?)?p?2?q?2? 1.21.在什么条件下(p1.22设类氢离子处于状态

求其平均值。

1.23计算下列波函数动量平均值

中，角动量

和MZ有无本征值？若有其值是多少？若无，

(1)eikx(2)coskx(3)e??x

12?21.24 已知作圆周运动的粒子归一化波函数为?(?)?e?im?，其中m=0, ?1, ?2, ?3…

0???2?,计算平均值

1.25已知一维势箱粒子的归一化波函数为

?n(x)?2n?x n=1, 2, 3? (其中l为势箱长度) sinll计算 (1)粒子的能量 (2)坐标的平均值 (3)动量的平均值

1.26 试比较一维势箱粒子(波函数同上题)基态(n=1)和第一激发态(n=2)在0.4l~0.6l区间内出现的几率。

1.27 当粒子处在三维立方势箱中(a=b=c),试求能量最低的前3个能级简并度。

1.28. 写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。

1.29 一个细胞的线度为10-5m， 其中一粒子质量为10-14g。按一维势阱计算，该粒子在n1=100, n2=101， 能

级各多大？

1.30一个氧分子封闭在一个盒子里，按一维势阱计算（势阱宽度10cm） （1）氧分子的基态能量是多少

（2）设该分子T＝300K时平均热运动能量等于3/2kT，相应量子数n为多少？第n激发态与第n+1

激发态能量相差多少？

1.31. 若用一维势箱自由粒子模拟共轭多烯烃中π电子, (a)丁二烯 (b)维生素A (c)胡萝卜素 分别为无色、桔黄色、红色，试解释这些化合物的颜色。

1.32 若用二维箱中粒子模型, 将蒽(C14H10)的π电子限制在长700pm, 宽400pm的长方箱中,计算基态跃迁

到第一激发态的波长.

习题2：

2.1 已知氢原子1s的归一化波函数为?1s?(?a)(1) 试求其基态能量和第一激发态能量。 (2)计算坐标与动量的平均值。

2.2 试求氢原子由基态跃迁到第一激发态（n＝2）时光波的波长。

2.3 试证明氢原子1s轨道的径向分布函数D?r??4?r2?12s极大值位于r?a0。 2.4 计算氢原子1s状态函数?1s及其概率在r?a0和r?2a0处的比值。 2.5 已知s和pz轨道角度分布的球谐函数分别为：Y00?试证明s和pz轨道相互正交。

2.6 试画出类氢离子3dz2和3dxy轨道轮廓，并指出其节面数及形状。 2.7 计算Li2+?1?的平均值

30?12?r?exp???

?a0?14?，Y10?3cos? 4?11(?200??210)?2?(?200??211??211) 所描述状态的能量E、角动量L平方23

2.8 比较类氢离子波函数ψ2px和ψ3px图形的异同点。

2.9 试比较Li原子，Li2+离子6s、5d、4f轨道能量顺序。

2.10已知氢原子2s 轨道波函数为 ?2s?Ne试求其归一化波函数。

2.11 证明l?1的?lm(?)函数相互正交。 2.12 试证明球谐函数Y10、Y21、Y32是方程?i?r/2a0(2?ra0)

?Ylm??,???mYlm??,??的本征函数。 ??2.13 原子的5个d轨道能量本来是简并的，但在外磁场的作用下，产生Zeeman效应（能量分裂），试作图描述这种现象。

2.14 已知氢原子2pz轨道波函数为?2pz??r?3?a42?a0?01??r??exp???cos? ???2a0? （1） 计算2pz轨道能量和轨道角动量； （2）计算电子离核的平均距离； （3） 径向分布函数的极值位置。

?Z??Zr?＋

?2.15 类氢离子的1s轨道为：?1s(r)??3?exp?，试求径向函数极大值离核距离，试问He与??a???a??0??0?F8+的极大值位置。

312n2a02.16 证明类氢离子的电子离核的平均距离为r?Z＋

?1?l?l?1????1??1?? 2?2n????＋

2.17 写出Li2离子的Schr?dinger方程，说明各项的意义，并写出Li2离子1s态的波函数 （1） 计算径向分布函数最大值离核距离； （2） 计算1s电子离核的平均距离； （3） 比较2s与2p态能量高低。

2.18 画出4f轨道的轮廓图, 并指出节面的个数与形状.

2.19 写出Be原子的Schr?dinger方程，计算其激发态2s12p1的轨道角动量与磁矩。 2.20 试用计算说明Rb原子第37个电子应填充在5s轨道, 而不是4d或4f轨道. 2.21 根据Slater规则, 计算P原子3s 和3p轨道能量。

2.22 简要说明Li原子1s22s1态1s22p1与态能量相差很大（14904cm-1），而Li2+的2s1与2p1态几近简并（只

差2.4cm-1）的理由。

2.23 根据Slater规则，求Ca原子的第一、二电离能。 2.24 计算Ti原子第一、二电离能。