2018年宁夏银川一中高考数学一模试卷含参考答案（文科）

20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个

顶点得到的菱形的面积为4． （1）求椭圆的方程．

（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且【解答】解：（1）由e=再由c2=a2﹣b2，解得a=2b． 由题意可知 解方程组

，即ab=2．

得a=2，b=1．

．

，得3a2=4c2．

?

=4，求y0的值．

所以椭圆的方程为

（2）由（Ⅰ）可知点A的坐标是（﹣2，0）． 设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k． 则直线l的方程为y=k（x+2）．

于是A、B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0． 由

，得

．从而

．

所以

设线段AB的中点为M， 则M的坐标为 以下分两种情况：

①当k=0时，点B的坐标是（2，0）， 线段AB的垂直平分线为y轴， 于是 由

，得

．

． ．

．

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为

．

令x=0，解得 由

，

．

，

=

=

整理得7k2=2．故 所以 综上，

． 或

，

．

．

21．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+bx（a，b∈R，f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值﹣9

（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若不等式f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln7≈1.95，ln8≈2.08） 【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=3ax2﹣2x+b，因为函数在x=3时有极小值﹣9， 所以

，从而得a=，b=﹣3，

所求的f（x）=x3﹣x2﹣3x，所以f′（x）=x2﹣2x﹣3， 由f′（x）＜0解得﹣1＜x＜3，

所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，3）．

（Ⅱ）因为f′（x）=x2﹣2x﹣3，所以f′（x）＞k（xlnx﹣1）﹣6x﹣4等价于 x2+4x+1＞k（xlnx﹣1），即x+记g（x）=x+则g′（x）=

+4﹣klnx，

，

+4﹣klnx＞0，

由g′（x）=0，得x=k+1，

所以g（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增， 所以g（x）≥g（k+1）=k+6﹣kln（k+1）， g（x）＞0对任意正实数x恒成立，

等价于k+6﹣kln（k+1）＞0，即1+﹣ln（k+1）＞0， 记h（x）=1+﹣ln（x+1）， 则h′（x）=﹣

﹣

＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，

﹣ln8＜0，

又h（6）=2﹣ln7＞0，h（7）=所以k的最大值为6．

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为数），曲线C2的参数方程为轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程； （2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜﹣

），将射线l1顺时针旋转

得到射线l2；θ=α

（α为参

（β为参数），以O为极点，x轴的正半

，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，

求|OP|?|OQ|的最大值．

【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为

（α为参数），

利用平方关系消去参数可得：曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣4x=0，

利用互化公式可得：ρ2﹣4ρcosθ=0， ∴C1极坐标方程为ρ=4cosθ． 曲线C2的参数方程为

（β为参数），消去参数可得：

曲线C2的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，

展开利用互化公式可得C2极坐标方程为ρ=4sinθ． （2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．

点Q极坐标为则

，即．

=

．

∵∴当

选修4-5；不等式选讲．

23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，且a，b∈M． （1）证明：|a+b|＜；

（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）证明：﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0， 可得|x﹣1|＜|x+2|，即有x2﹣2x+1＜x2+4x+4， 解得x＞﹣，

则x+2＞0，可得﹣2＜|x﹣1|﹣（x+2）， 即有x＜|x﹣1|，可得x﹣1＞x或x﹣1＜﹣x， 解得﹣＜x＜， 则|a|＜，|b|＜，

|a+b|≤|a|+|b|＜（+）×=； （2）|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．

理由：|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣4ab﹣2a+2b）（1﹣4ab+2a﹣2b） =（1﹣2a）（1+2b）（1+2a）（1﹣2b） =（1﹣4a2）（1﹣4b2）， 由|a|＜，|b|＜，可得 4a2＜1，4b2＜1，

则（1﹣4a2）（1﹣4b2）＞0， 可得|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．

，即，

，

时，|OP|?|OQ|取最大值4．

=