徐州市初中数学锐角三角函数的经典测试题含解析

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H， 则有AD=2AH，∠AHO=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=∴∠A=30°，

BC23， ??AB2331333OA=，AH=AO?cos∠A=3??，∠BOC=2∠A=60°， 2222∴AD=2AH=3，

∴OH=

60??∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=1?23?2?1?3?3?222故选A.

?3?2=36053??， 42

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

16．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，嘉淇与假山的水平距离BD为6m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60?刻度线，则假山的高度CD为（ ）

A．23?1.6m 【答案】A 【解析】 【分析】

??B．22?1.6m

??C．43?1.6m

??D．23m

根据已知得出AK=BD=6m，再利用tan30°= 【详解】

解：如图，过点A作AK?CD于点K

CKCK?，进而得出CD的长． AK6

∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°， ∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°， ∴tan30°=

CKCK?， AK6解得：CK=23 即CD=CK+DK=23+1.6=（23+1.6）m． 故选：A． 【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.

17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（ ）

A．﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】

B．﹣23 C．﹣33 D．﹣43

bb2b?b2AOBtan60°×根据已知求出B（﹣），由△为等边三角形，得到＝（﹣），,2a4a2a4a即可求解； 【详解】

解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O， ∴c＝0，

b?b2B（﹣）， ,2a4a∵△AOB为等边三角形，

bb2∴＝tan60°×（﹣），

2a4a∴b＝﹣23； 故选B． 【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．

18．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是 （ ）

A．18?3? 【答案】C 【解析】 【分析】

B．18?3π C．323?16? D．183?9?

由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可． 【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，

∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°， ∵DF是菱形的高， ∴DF⊥AB， ∴DF=AD?sin60°=8?3?43， 2∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积

120??(43)2=8?43??323?16?．

360故选：C. 【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．

19．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )

A．303 n mile 【答案】D 【解析】 【分析】

B．60 n mile C．120 n mile D．(30?303)n mile

过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长． 【详解】

过C作CD⊥AB于D点，

∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在Rt△ACD中，cos∠ACD=∴CD=AC?cos∠ACD=60×

CD， AC3?303． 2在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD=303， ∴AB=AD+BD=30+303．

答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+303）nmile． 故选D． 【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

20．如图，在扇形OAB中，?AOB?120?，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若CD?33，则扇形AOB的面积为（ ）