全国名校高中数学题库--圆锥曲线 - 图文

x2y21．(1) ??1.

43 (2)

设

直

线

AE：

3y?k(x?1)?2，代入

x2y2??143得

3yF)，易得yE)，F(xF，(3?4k2)x2?4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0，设E(xE，2kEF?yF?yE1?(定值)．

xF?xE2注：本题可推广为（证明略）：

x2y22．(1) ??1.

42(2)提示：利用线段的定比分点，关注?．

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注：（一）本题的证明还有其它方法，这里从略．

（二）对于本题，我们还可将第(2)题的结论推广到一般椭圆，具体为：

x2y2命题一：设椭圆C：2?2?1(a?b?0)，过椭圆外一点P(m，n)的动直线l与椭圆

ab????????????????C相交于两不同点A,B，在线段AB上取点Q，满足AP?QB?AQ?PB，则点Q在

定直线mbx?nay?ab?0上．

我们可将命题一推广到其它的圆锥曲线，具体为：

命题二：设圆C：x?y?r(r?0)，过圆外一点P(m，n)的动直线l与圆C相交

2222222????????????????于两不同点A,B，在线段AB上取点Q，满足AP?QB?AQ?PB，则点Q在定直线

mx?ny?r2?0上．

x2y2命题三：设双曲线C:2?2?1(a?0，b?0)，过双曲线外一点P(m，n)的动直

ab????????????????线l与双曲线C相交于两不同点A,B，在线段AB上取点Q，满足AP?QB?AQ?PB，

则点Q在定直线mbx?nay?ab?0上．

命题四：设抛物线C:y?2px(p?0)，过抛物线外一点P(m，n)的动直线l与抛物

22222????????????????线C相交于两不同点A,B，在线段AB上取点Q，满足AP?QB?AQ?PB，则点Q在

定直线px?ny?pm?0上．

以上命题的证明从略．

x2y2?2???1.（2）直线l过定点，定点坐标为?，3．（1）0?. 43?7?（3） （2）的推广（一）：

x2y2过椭圆2?2?1(a?b?0)上的右顶点M(a，0)作两直线AM与BM交椭圆于

aba2?b20)． A、B两点，当AM?BM时，直线AB恒过定点(22?a，a?b10

?x?ty?p?y1)、B(x2，y2)，由?x2y2提示：可设直线AB：x?ty?p且A(x1，得

??1?2b2?a?2ptb2y1?y2??2??a?b2t222222222，由已知得(a?bt)y?2ptay?b(p?a)?0，则?222?y?y?b(p?a)12?a2?b2t2???????????AM?BM?0，即(x1?a)(x2?a)?y1y2?0 ?

a2?b2(1?t)y1y2?t(p?a)(y1?y2)?(p?a)?0 ?p?2?a ? 直线AB：

a?b222a2?b2a2?b2x?ty?2?a恒过定点(2?a，0)． 22a?ba?b（2）的推广（二）：

x2y2y0)作两直线AM与BM交椭过椭圆2?2?1(a?b?0)上的任意定点M(x0，aba2?b2a2?b2x，?2y)． 圆于A、B两点，当AM?BM时，直线AB恒过定点(22020a?ba?b

典型考法3 椭圆与直线

典型例题

3?，已知椭圆E经过点A?2，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，长轴的长与焦距之比为2：1．(如图8-1-1) (1)求椭圆E的方程；

(2)求?F1AF2的角平分线所在直线l的方程；

(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

图8-1-1

x2y2a解析 (1)设椭圆E的方程为2?2?1，由已知得?2，a?2c，故

cab11

x2y213从而椭圆方程为2?2?1，将A（2，3）代入上式，得2?2?1，b?a?c?3c，

4c3ccc2222x2y2解得c?2，∴椭圆E的方程为??1．

1612(2)方法一：

方法二：

方法三：

方法四：

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