2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题11 圆锥曲线的几何性质与应用(解析版)

x2y2例4.（2019·全国高考真题（理））设F1，F2为椭圆C:+?1的两个焦点，M为C上一点且在第一

3620象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为___________. 【答案】3,15 【解析】

??MF2，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标. 分析:根据椭圆的定义分别求出MF1、详解:由已知可得a?36,b?20,?c?a?b?16,?c?4，

22222?MF1?F1F2?2c?8．∴MF2?4．

设点M的坐标为?x0,y0??x0?0,y0?0?，则S△MF1F2?又S△MF1F2?2x0??361?F1F2?y0?4y0， 21?4?82?22?415,?4y0?415，解得y0?15， 22?15?20， ?1，解得x0?3（x0??3舍去）

\\M的坐标为3,15．

x2y2例5.（2019·全国高考真题（文））设F为双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，

ab以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ） A．2 C．2 【答案】A 【解析】

设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ?x轴，

B．3 D．5

??|PA|?又QPQ?|OF|?c，??A为圆心|OA|?c,?PA为以OF为直径的圆的半径， 2c． 2?cc??P?,?，又P点在圆x2?y2?a2上，

?22?

c2c2c2c2222???a，即?a,?e?2?2． 442a?e?2，故选A．

x2例6.（2018全国卷I））已知双曲线C：?y2?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的

3两条渐近线的交点分别为M、N.若VOMN为直角三角形，则|MN|=（ ） A．

3 2B．3

C．23 D．4

【答案】B 【解析】

分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到?FON?30?，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN的倾斜角为60?或120?，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60?，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得M(3,3),N(,?323)，利用两点间距离公式求得MN的值. 23，且右焦点为F(2,0)， 3详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为?从而得到?FON?30?，所以直线MN的倾斜角为60?或120?， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60?， 可以得出直线MN的方程为y?3(x?2)，

分别与两条渐近线y?33x联立， x和y??333)， 2求得M(3,3),N(,?32所以MN?(3?)2?(3?3232)?3，故选B. 2uuuruuuurx22

例7.（2018浙江卷）已知点P(0，1)，椭圆+y=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=___________

4时，点B横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】

分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.

详解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由AP?2PB得?x1?2x2,1?y1?2(y2?1),??y1?2y2?3,

uuuruuurx12x2222因为A,B在椭圆上,所以?y1?m,?y2?m,

444x22x223m2??(2y2?3)?m,??(y2?)2?，

44243?m21x222,x2??(m2?10m?9)?4，当且仅当m?5时取最大值. 与?y2?m对应相减得y2?444例8. （2019·北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：一（如图）.给出下列三个结论：

就是其中之

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A.① 【答案】C 【解析】

分析：将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 详解：由

得,

,

,

恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),

B.②

C.①②

D.①②③

所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由过

得,

. 结论②正确.

, ,解得

,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超

如图所示,易知四边形

的面积

,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域

的面积大于3,说法③错误.

故选C.

【压轴训练】

x2y21．（2019·天津南开中学高考模拟（理））已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1、F2，

ab