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第三章 解析几何

专题11 圆锥曲线的几何性质与应用

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解．

1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距.从而可求解

（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：双曲线：e??0,1?，e??1,+?? 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.

【压轴典例】

x2y2

例1. (2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、

ab右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过

OE的中点，则C的离心率为( )

1

A. 32C. 3

1B. 23D. 4

【答案】A

【解析】本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a，b，c满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM经过OE的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式． 详解：

法一：数形结合法

如图，设直线BM与y轴的交点为N，且点N的坐标为(0，m)，根据题意，点N是OE的中点，则E(0,2m)，从而直线AE的方程为＋＝1，因此点M的坐标为－c，

－a2m又△OBN∽△FBM， |FM||FB|所以＝，

|ON||OB|2m?a－c?即

xy2m?a－c?

.

aam＝a＋cc11

，解得＝，所以椭圆C的离心率为. aa33

法二：交点法

同法一得直线AE的方程为＋＝1，直线BN的方程为＋＝1.又因为直线AE与直线BN交于点M，且

－a2mam－cn??－a＋2m＝1，

PF⊥x轴，可设M(－c，n)．则?－cn??a＋m＝1，法三：三点共线法

同法一得直线AE的方程为＋＝1，由题意可知M?－c，2m?1－??，N(0，m)，B(a,0)三点共线，则－a2m??a??2m?1－?－m＝xyxy

c11

消去n，解得＝，所以椭圆C的离心率为.

a33

xy??

c??

?

?

c?a?－cc11，解得＝，所以椭圆C的离心率为. －aa33

m法四：方程法

设M(－c，m)，则直线AM的方程为y＝与y轴交于点?0，法五：几何法

ma－c(x＋a)，所以E?0，

?

?

ma?m.直线BM的方程为y＝(x－a)，?a－c?－c－a?

?

ma?2mamac11

，由题意知，＝，即a＋c＝2(a－c)，解得＝，所以椭圆C的离心率为. ?a＋c?a＋ca－ca33

在△AOE中，MF∥OE，所以＝

MFa－c.

OEaOE2aOE2a在△BFM中，ON∥MF，所以＝，即＝.

MFa＋cMFa＋c所以·＝

MFOEa－c2ac11

·＝1，即a＋c＝2(a－c)，解得＝，所以椭圆C的离心率为.

OEMFaa＋ca33

x2y2例2.（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过

abruuuruuuruuuruuuF1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F则C的离心率为____________． F1B?F2B?0，1A?AB，

【答案】2. 【解析】

分析:通过向量关系得到F1A?AB和OA?F1A，得到?AOB??AOF1，结合双曲线的渐近线可得

?BOF2??AOF1,?BOF2??AOF1??BOA?600,从而由

详解:如图，

b?tan600?3可求离心率. a

uuuruuur由F1A?AB,得F1A?AB.又OF1?OF2,得OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2//OA,BF2?2OA.由uuuruuuurF1BgF2B?0，得F1B?F2B,OA?F1A,则OB?OF1有?AOB??AOF1，

又OA与OB都是渐近线，得?BOF2??AOF1,又?BOF2??AOB??AOF1??，得

?BOF2??AOF1??BOA?600,．又渐近线OB的斜率为

b?tan600?3，所以该双曲线的离心率为ae?cb?1?()2?1?(3)2?2． aax2y2例3. （2019·浙江高考真题）已知椭圆??1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线

95

段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______. 【答案】15 【解析】

分析:结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 详解:方法1：由题意可知|OF|=|OM|=c=2，

22由中位线定理可得PF1?2|OM|?4，设P(x,y)可得(x?2)?y?16，

x2y2联立方程??1

95321,x?（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方， 2215?315?2?15 P?,求得?，所以k??PF?22?1??2可解得x??

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知|OF|=|OM|=c=2，

由中位线定理可得PF1?2|OM|?4，即a?exp?4?xp??3 2?315?求得P???2,2??，所以kPF??15?2?15. 12