江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义 docx

x2y2

4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右支与

ab焦点为F的抛物线x＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 |AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，

222

由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.

22

2

pppppxy??2－2＝1，

联立?ab??x2＝2py2

22

消去x，得ay－2pby＋ab＝0，

22222

2pb2pb所以y1＋y2＝2，所以2＝p，

2

aab21b2即2＝，故＝， a2a2

所以双曲线的渐近线方程为y＝±答案：y＝±

2

x 2

2x. 2

x2y2

5．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值

ab是________.

a2

解析：由已知得2＋2＝1，因为准线方程为x＝，所以椭圆的中心到准线的距离为dabc1

4

a2a4a42

＝，即d＝2＝2＝cca－b2

a4

a2－2

a－1

2

a4－a2a2－5

＝2＝2

4aa－5

2

2

＋9a－5＋20220

＝a－5＋2＋2a－5a－5

2

9≥220＋9＝45＋9＝(5＋2)，当且仅当a＝5＋25时取等号．所以d≥5＋2，即dmin＝5＋2.

答案：5＋2

6．已知圆C：(x－2)＋y＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上―→―→

任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得PA·PB≤0，则线段EF长度的最大值是________．

解析：过点C作CH⊥l于H，因为C到l的距离CH＝

―→―→

―→

―→

3

32

＝>2＝r，所以直线l与圆

22

2

2

C相离，故点P在圆C外．因为PA·PB＝|PA||PB|cos∠APB≤0，所以cos∠APB≤0，

π?π?所以≤∠APB<π，圆C上存在两点A，B使得∠APB∈?，π?，由于点P在圆C外，故当2?2?

PA，PB都与圆C相切时，∠APB最大，此时若∠APB＝，则PC＝2r＝22，所以PH＝PC2－CH2＝

答案：14

22

2

π2

－?

14?32?2

?＝2，由对称性可得EFmax＝2PH＝14. ?2?