弹性力学空间问题

是弹性波理论的初等理论。 学习要点：

1、弹性应力波及波动方程；2、质点的运动速度与瞬时应力；3、应力波的相向运动；4、膨胀波与畸变波。 1、弹性应力波及波动方程

首先以半无限长弹性细杆为例研究弹性应力波在杆内向远处传播的规律。设材料的弹性模量为E，密度为?。

设杆件所受载荷比较小，使得杆端应力??≤?sd，?sd为材料的动屈服极限。同时设载荷为压力，则杆件传播的是弹性压缩波。因此设压缩应力为正，则运动方程（波动方程）为

其中 是一个与应力大小无关的常数，为杆件中弹性纵波的波速。对于金属材料而言，其数量级为每秒几千米（弹性横波的波速一般是纵波的一半）。一般材料的C0值可以查表得到。

应该指出，波的传播速度u 和在波传播中材料质点的运动速度v 是两个不同的物理量，不能相互混淆。材料的质点受到扰动后，只能在平衡位置附近运动，其运动速度称为质点的速度v。而质点将所受到的干扰相继传播到相邻质点的速度，称为波的传播速度u。

对于波动方程这个二阶微分方程可以改写作与之等价的一阶偏微分方程组，如果令 ，则 ，所以 。 波动方程可以写作

上述方程写作矩阵形式，有

25