2019年高考数学附加题专题训练空间向量与立体几何

空间向量与立体几何 考纲要求：

1、理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。 2、能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理判断一些平行于垂直问题 3、能用向量法证明线线、线面、面面等问题

例1、如图，在空间直角坐标系Oxyz中，正四棱锥PABCD的侧棱长与底边长都为32，点M，N分别在PMBN1

PA，BD上，且＝＝.

PABD3(1) 求证：MN⊥AD；

(2) 求MN与平面PAD所成角的正弦值．

(2) 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)． →→

由(1)得AD＝(－3，－3,0)，AP＝(－3,0,3)．

设MN与平面PAD所成的角为θ，则 22→

sinθ＝|cos〈n，MN〉|＝.

3

22

所以MN与平面PAD所成角的正弦值为.(10分)

3

变式1、如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，→→

点P在直线A1B1上，且满足A1P＝λA1B1(λ∈R)． 1

(1) 当λ＝时，求直线PN与平面ABC所成角的正弦值．

2(2) 若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，求λ的值．

规范解答 (1) 因为三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，且AB⊥AC，故以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图：M是CC1的中点，N是BC的中点，

1

0，1，?，因为AA1＝AB＝AC＝1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，M?2??

11?N??2，2，0?.(2分)

111→→→

，0，1?，PN＝?0，，－1?. 又因为λ＝，且满足A1P＝λA1B1，所以P??2??2?2

→

又向量AA1＝(0,0,1)是平面ABC的一个法向量，所以直线PN与平面ABC所成的角θ的正弦值为 →→|PN·AA1|→→

sinθ＝cos〈PN，AA1〉＝＝→→|PN||AA1|

125

＝，

512??＋1

?2?

令x＝3，得m＝(3,2λ＋1,2(1－λ))．

因为平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°， →

平面ABC的一个法向量为n＝AA1＝(0,0,1)，所以 2|1－λ||m·n|2

cos〈m，n〉＝＝＝，

|m||n|9＋?2λ＋1?2＋4?1－λ?221

解得λ＝－.(10分)

2

变式2、如图，在底面边长为l，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.

(1) 若m＝1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦；

1

(2) 是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，求出m的值；若不存在，请

3说明理由．

即异面直线AP与BD1所成角的余弦值是

2

.(5分) 3

1

(2) 假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，则

3→→→

D1B1＝(1,1,0)，AD1＝(－1,0,2)，AP＝(－1,1，m)． 设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)．

→???n⊥D1B1，?x＋y＝0，

由?)得?)取x＝2，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．(7分)

?→－x＋2z＝0，???n⊥AD1，

17?－2－2＋m?1→

由直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，得|cos〈AP，n〉|＝?＝，解得m＝. ?234?3·m＋2?3771

因为0≤m≤2，所以m＝满足条件，所以当m＝时，直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值等于.(10分)

443变式3、如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1. (1) 求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值； (2) 求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．