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全国名校高考数学复习优质学案汇编(附详解)
x2y2【答案】(1) ??1 (2) 点G在定直线x?1上
43【解析】
a2?b2?1∴{424 , 解得a2?4,b2?3,
?2?129a9bx2y2椭圆M的方程为??1
43(2)方法一
当点P为椭圆的上顶点时,直线l的方程为3x?4y?43?0,此时点P?0,3?,
?833?,则直线lA1P:Q??5,5????3x?2y?2?33x?y2?2?3和0直线lA2Q:33x?2y?63?0,联立
?33?0, { ,解得G?1,???233x?2y?63?0???33?当点P为椭圆的下顶点时,由对称性知: G?. ?1,?2????猜想点G在直线x?1上,证明如下:
由条件可得直线PQ的斜率存在, 设直线PQ:y?k?x?4??k?0?, 联立方程{y?k?x?4?3x?4y?12?022 ,
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消y得: ?3?4k2?x2?32k2x?64k2?12?0有两个不等的实根,
??322k4?4?43?4k216k2?3?16?91?4k2?0, ?0?k2?64k2?1232k2设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,则x1?x2?, x1?x2?23?4k23?4k??????1 4?*?
则直线lAP:y?1y1y?x?2?与直线lA2Q:y?2?x?2? x1?2x2?2联立两直线方程得
y1y?x?2??2?x?2?(其中x为G点横坐标) x1?2x2?23y1?y2?, x1?2x2?2将x?1代入上述方程中可得
即3k?x1?4??x2?2???k?x2?4??x1?2?, 即证4x1x2?10?x1?x2??16?0 将?*?代入上式可得
?4?64k2?123?4k2???10?32k3?4k22?16
1616k2?3?20k2?3?4k23?4k2???0,此式成立
∴点G在定直线x?1上. 方法二
由条件可得直线PQ的斜率存在, 设直线PQ:y?k?x?4??k?0? 联立方程{y?k?x?4?3x2?4y2?12?0 ,
消y得: ?3?4k2?x2?32k2x?64k2?12?0有两个不等的实根,
??322k4?4?43?4k216k2?3?16?91?4k2?0, ?0?k2???????1 464k2?1232k2设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,G?x3,y3?,则x1?x2?, x1?x2?3?4k23?4k2
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?x1?x2??x1?x2?2121?4k2?4x1x2?,
3?4k2y3y1? x1?2x3?2由A1, P, G三点共线,有: 由A2, Q, G三点共线,有: 上两式相比得
?y3y2 ?x3?2x2?2x3?2y2?x1?2?k?x2?4??x1?2? ??x3?2y1?x2?2?k?x1?4??x2?2???3,
x1x2??x1?x2??3?x2?x1??8x1x2?3?x1?x2???x1?x2??8解得x3?1
∴点G在定直线x?1上.
【名师指点】设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
x2y2【举一反三】如图,设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在
ab椭圆上,DF1?F1F2,
2|F1F2|. ?22,?DF1F2的面积为
|DF1|2(1)求该椭圆的标准方程;
(2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.
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x25?32【答案】(1)?y2?1;(2)存在满足条件的圆,其方程为x2??. y????23?9?2【解析】
从而DF1?2329222,由DF1?F1F2得DF2?DF1?F1F2?,因此DF2?. 222所以2a?DF1?DF2?22,故a?2,b2?a2?c2?1
x2因此,所求椭圆的标准方程为:?y2?1
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