解析几何定值定点 专题

全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）

3y0?3y0?5?2x05?2x05y05??k， 所以k2?8?5x08?5x03x031?5?2x05?2x0即存在m?，使得k2?k1．

类型二 定点问题

x2y2典例2 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1， F2， B为椭圆的

ab5353上顶点， ?BF1F2为等边三角形，且其面积为3， A为椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于M,N两点（M,N不是左、右顶点），且满足MA?NA，试问：直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.

x2y22?0?. 【答案】(Ⅰ) ??1；（Ⅱ）直线l过定点，定点坐标为??，743??【解析】

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（Ⅱ）设M?x1，y1?， N?x2，y2?，

y?kx?m， 得?3?4k2?x2?8mkx?4?m2?3??0， 联立{x2y2??1.43??64m2k2?163?4k2m2?3?0，即3?4k2?m2?0

????8mk，23?4k{ 24m?3x1·x2?.23?4kx1?x2????又y1y2??kx1?m??kx2?m??kx1x2?mk?x1?x2??m?223m2?4k23?4k2??，

因为椭圆的右顶点为A?2，0?， ∴kMAkNA??1，即

y1y·2??1， x1?2x2?2∴y1y2?x1x2?2?x1?x2??4?0， ∴

3m2?4k23?4k2???4?m2?323?4k??16mk3?4k2?4?0，

∴7m2?16mk?4k2?0． 解得： m1??2k， m2??2k，且均满足3?4k2?m2?0， 7当m1??2k时， l的方程为y?k?x?2?，直线过定点?2，0?，与已知矛盾；

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当m2??2?2k?2?时， l的方程为y?k?，直线过定点x?0?． ???，777????2?7?，0所以，直线l过定点，定点坐标为???

?【名师指点】解析几何中有关定点问题等综合性问题，它涉及到解析几何中的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．

【举一反三】已知定点A??3,0?、B?3,0?，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为?，记动点M的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点T?1,0?的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S?s,0?，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由.

x2【答案】(1) 曲线C的方程为?y2?1 ?x??3?;(2)见解析.

919【解析】

（Ⅱ）由已知直线l过点T?1,0?，

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设l的方程为x?my?1，则联立方程组{消去x得 ?m2?9?y2?2my?8?0, 设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则{y1?y2??x?my?1 ，

x2?9y2?92mm2?9 ， ?8y1y2?2m?9y1y1yy2? ， kSQ?2?， x1?smy1?1?sx2?smy2?1?s直线SP与SQ斜率分别为kSP?kSPkSP?y1y2

my?1?smy?1?s?1??1??y1y2my1y2?m?1?s??y1?y2???1?s?22

??8?s2?9?m?9?1?s?22.

?89?1?s?2当s?3时， kSPkSP?2?81. ??；当s??3时， kSPkSP???29189?1?s?所以存在定点S??3,0?，使得直线SP与SQ斜率之积为定值. 类型三 定线问题

x2y2典例3 已知抛物线C： y?2px（p?0）的焦点是椭圆M： 2?2?1（a?b?0）

ab2?226?的右焦点，且两曲线有公共点??3，3??

??（1）求椭圆M的方程；

（2）椭圆M的左、右顶点分别为A1， A2，若过点B?4，0?且斜率不为零的直线l与椭圆M交于P， Q两点，已知直线A1P与A2Q相较于点G，试判断点G是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.