复变函数论 第二章 解析函数

2k??2k???)???(?).?(3)(k?0,1,?,n?1)都变成z平面除去原点及负实nnnn轴的区域.下图是n?3的情形.

形.Tk:(

图2.3

区域T是（1）的单叶性区域的充要条件是：对于T内任一点w1，满足下面等式的点

2k?n?不属于T.即：幂函数w?z(n?1,n?Z)的单叶性n2?区域，是顶点在原点z?0，张度不超过的角形区域.

nw2,w2?w1,argw2?argw1?（2） 分出w? 设z?re,w?i?nz的单值解析分支.

nz?nrei??2k?n,(k?0,1,?,n?1)出现多值性的原因是由于z确定

后，其辐角并不唯一确定.今在z平面上从原点0到点?任意引一条射线（或一条无界简单曲线）.将z平面割破.割破了的z平面构成一个以此割线为边界的区域，记为G.在G内随意指定一点z0，并指定z0的一个辐角值，则在G内任意的点z，皆可根据z0的辐角，依连续变化而唯一确定z的辐角.

设???argz??,wk?(z)k?nnzei??2k?n(??argz,k?0,1,?,n?1)（给定k，只

有一个wk与之对应）则wk?wk(z)是区域G?{(r,?):r?0,??????}上的单值解析函数.事实上，由于nz?数.(k?0,1,?,n?1) 又wk?nnr与argz??都是连续函数.故wk?wk(z)也是z?G的连续函

r(cos??2k?n?isin??2k?n)?u(r,?)?iv(r,?).

1?111??2k??1??2k?ur?rncos,u??rnsin.

nnnn1?111??2k?1??2k?vr?rnsin,v??rncos.

nnnn11?ur?v?,vr??u?.

rr解每一个wk(z)为w?（3）w?nnz的一个解析分支.

z的支点与支割线.

定义：设w?f(z)为多值函数，a为一定点，作小圆周C:z?a?r，若变点z沿C转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称a为f(z)的支点，如w?nz,z?0就是其

一个支点，这时绕C:z?r转一周也可看作绕?点转一周，故?点也是其一个支点. 定义2.8 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.如w?nz可以以负实轴为支割线.

附：a)支割线可以有两岸.

b)单值解析分支可连续延拓到岸上.

c)支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.

d)对w?nz，当以负实轴为支割线时，当z?x?0时取正值的那个分支称为主值支.

例2.9 设w?解：wk?33z定义在从原点起沿负实轴，割开了的平面上，且w(i)??i.求w(?i)的值.

i??2k?3ze(k?0,1,2,?)??????

求k：当z?i时，r?z?1,????2k?3?2.

由w(i)??i知?i?ei2?k?2

i7?6w(?i)?3?ie???4??????2?i3?6?e??e.

i作业：第93页 22 ，23 二、对数函数

1、定义2.9 方程e?z(z?0,?)的根w称为z的对数，记为w?Lnz.

i?v 则eu?iv?rei? 设z?re w?u?i

?lnr??uv???2k?(k?Z)?w?Lnz?lnr?i(??2k?)?lnr?iArgz?(lnr?i?)?2k?i?lnz?2k?iw(??????,k?0,?1,?)

当???argz??时，称w?Lnz?lnz?iargz为主值（支）. 注：区别Lnz和lnz. 例2.10 Lni?lni?i(??2k?)?i(?2k?).k?0,?1,?2,? 22?2、性质：a)Ln(z1?z2)?Lnz1?Lnz2 b)Ln(z1)?Lnz1?Lnz2 z2 证：a) z1?eLnz1 z2?eLnz2 ?z1?z2?e2Lnz1?eLnz2?eLnz?1Lnz 2Ln?zL?n2z Lnz(z?z)? 注：Lnz?2Lnz ?Ln?Ln?zln Lnz?riAr?glnz?r iArgz三、指数函数的变换性质及其单叶性区域

设z?由rew z?ru?ivei?v w?u?i

ei??eu??r?e 知? （ k?Z） ????v?2k?z?eu0

故变换

?1)把w平面平行实轴直线v=v0变为z平面上从原点出发的直线?=v0?w?u0,于是z=w把平行于实轴的0z?e:?2)把线段?u=u变为z平面上的圆周z=???v??ee?带形??(u,v):(2k?1)

若w1?eew2?zeu1?iv1?即1eu2?iv2

??u1?v1?2k? ? ? 为单叶性区域?若w1?u1?iv1??

v1v2?则

u?i(v?2k?)??

11 故?(u,v):(2k?1)??v?(2k?1)?都是z? 四．分出Lnz的单值解析分支

e的单叶性区域?

w设???argz??，令wk?(Lnz)knl?则wk(z)zgar(?i2)z?k?（k为固定的整数）

在G?{(r,?):r?0,??????}内单值解析.

证：wk?lnr?i(??2k?) (r,?)?G

k?都连续，故wk连续.显然wk(z)在G内单值连续， lnr与??2 记u?lnr,v???2k? 它们都在G内可微.

1,u??0v,r?0v?,? 1r11 ?ur?v?,vr??u?. （极坐标下的C.?R.条件）

rrr1 ?wk(z)在G内解析.这时，?wk?(z)?(ur?ivr)?.

zz ur? w0?lnr?i?， w1?lnr?i?(??2 )五．w?Lnz以z?0与z??为支点，连接0与?任一（广义）简单曲线可作为其支割线.（支割线通常是连接支点的简单曲线）.

例2.10 设w?Lnz定义在沿负实轴割破的平面上，且w(?1)?3?i（是下岸相应点的函数值）求w(i)的值.

z?? )解：wk?(Lnz)k?lnz?i(argz?2k?) (???arg3?i?ln1?i(argi?4?) ?k?2

求值：w(i)?lni?i(argi?4?)?i(六、一般幂函数与一般指数函数 定义2.10：w?z?eaaLnz?2?4?)?9?i 2(z?0,?)为一般的幂函数.

一般地说，它是多值函数.并以z?0,?为支点，又称w?az记ezLna为一般的指数函数，它是无穷多个独立的单值函数. 例2.11 1）求i 解：i?e2）求2解：21?iiiiLni?ei(i(?2k?))2??e?(?2k?)2?(k?Z)

1?i?e(1?i)Ln2?e(1?i)(ln2?2k?i)?eln2?2k??i(ln2?2k?)?eln2?2k?(cosln2?isinln2)