当前位置：首页 > 9 空间点、直线、平面之间的位置关系（九）暑期补课教案（共30课时） 原稿
空间点、直线、平面之间的位置关系（九） 空间点、直线、平面之间的位置关系（九）
基础梳理导学
1．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：不共线的三点确定一个平面．
※推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． ※推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． ※推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的
公共直线即交线．
2．空间两条直线
(1)空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面． (2)平行直线
①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ． (3)异面直线
①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
②两条异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直． 异面直线所成的角的范围是 ． 3．直线和平面的位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点
直线和平面相交或平行统称直线在平面外． 4．平面与平面位置关系 (1)平行——没有公共点；
(2)相交——有一条公共直线． 疑难误区 点拨警示
1．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．而不是分别在两个平面内．理解定义一定要准确．
2．等角定理是求空间中两条直线所成角的基础，运用定理时，应注意“这两个角相等或互补”，只有在“方向相同”时才相等．
3．同一平面内两条直线不平行则必相交，但在空间中则不然，平面几何中的一些结论在空间中未必成立． 思想方法技巧
一、共线与共面问题
证明共线时，所共的直线一般定位为两个平面的交线；证明共面问题时，一般先由已知条件确定一个平面(有平行直线的先用平行直线确定平面)，再证其他元素在该平面内． 二、求异面直线所成角
异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径．
(1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面1 / 8
空间点、直线、平面之间的位置关系（九）
空间点、直线、平面之间的位置关系（九） 内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一； [例1] 如图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．
(2)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二； 这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．
A1B1[例2] 如图所示，正方体AC1中，B1E1＝D1F1＝，求BE1与DF1所成角的余弦值．
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(3)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三．这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件．
[例3] 如下图长方体AC1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.求BD1与C1N所成角的余弦值．
考点典例讲练
★共线、共面问题
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[例1] 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥=2AD，
1BE∥=2FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
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空间点、直线、平面之间的位置关系（九）
空间点、直线、平面之间的位置关系（九）
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点．
★空间两条直线的位置关系
[例2] (2011·新乡月考)已知m、n为异面直线，m?平面α，n?平面β，α∩β＝l，则l( ) A．与m、n都相交 B．与m、n中至少一条相交 C．与m、n都不相交 D．与m、n中的一条直线相交
用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④
★空间线面的位置关系
[例3] 设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) ．A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 ．D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直 ．
(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
★异面直线的判定及证明
[例4] (文)设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
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空间点、直线、平面之间的位置关系（九）
空间点、直线、平面之间的位置关系（九） B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
(理)下图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF是异面直线； ②直线BE与直线AF是异面直线； ③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的序号是________．
★异面直线所成的角
[例5] (2011·大纲全国文，15)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
如图，矩形BCC1B1所在平面垂直于三角形ABC所在平面，且BB1＝CC1＝AC＝2，AB＝BC＝2，又E，F分别是C1A和C1B的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC；
(2)求证：平面EFC1⊥平面C1CBB1； (3)求异面直线AB与EB1所成的角．
课堂巩固训练
一、选择题 1．(2011·台州模拟)对于空间中的两条直线，P:“这两条直线为异面直线”是Q:“这两条直线没有公共点”的( )
A．P成立则Q一定成立，Q成立P不一定成立. B．P成立则Q不一定成立，Q成立P一定成立. C．P成立则Q一定成立，Q成立P一定成立.
D．P成立则Q不一定成立，Q成立P不一定成立.
2．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF与GH交于点M，则( ) A．M一定在AC上 B．M一定在BD上 C．M可能在AC上也可能在BD上 D．M不在AC上，也不在BD上 二、填空题
3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．
空间点、直线、平面之间的位置关系
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空间点、直线、平面之间的位置关系（九）
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