（通用）2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形42同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理！

答案：A

解析：3sin α＋cos α＝0?cos α≠0 1

?tan α＝－，

3

1cosα＋sinα

＝2 2cosα＋2sin αcos αcosα＋2sin αcos α

2

2

?1?21＋?－?1＋tanα?3?10＝＝＝. 1＋2tan α23

1－3

2

4?π?2．[20172四川雅安模拟]已知sin θ＋cos θ＝，θ∈?0，?，则sin θ－cos θ 的

4?3?值为( )

A.

21

B. 3321

D．－ 33

C．－

答案：C

162

解析：由题意，知(sin θ＋cos θ)＝，

9167

∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝，

99722

由(sin θ－cos θ)＝1－2sin θcos θ＝1－＝，

99可得sin θ－cos θ＝±

2. 3

?π?又∵θ∈?0，?，sin θ

4??

∴sin θ－cos θ＝－

2

. 3

考点3 巧用相关角的关系解题

?π??5π＋θ?＋sin?2π－θ?的值是

[典题3] (1)已知cos?－θ?＝a(|a|≤1)，则cos???3?

?6??6???

________．

[答案] 0

- 9 -

[解析] 由题意知，cos?sin?

?5π＋θ?6?＝cos?π－?π－θ??＝－cos?π－θ???6???6??????

?＝－a.

??

π? ?2π－θ?＝sin?π＋?－θ????????3??2?6?

?π?＝cos?－θ?＝a，

?6?

∴cos?

?5π＋θ?＋sin?2π－θ?＝0.

??3?

?6???

?π?1?π?(2)已知sin?－α?＝，则cos?＋α?＝________.

?3?2?6?

1

[答案]

2[解析] ∵?

?π－α?＋?π＋α?＝π，

??6?2

?3???

?π?π???π?∴cos?＋α?＝cos?－?－α??

???6??2?3?π?1

＝sin?－α?＝.

?3?2

πππ[点石成金] 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；363ππππ2ππ3π

＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－

6443344θ等.

7π11π?2???＋αα－1.已知sin??＝3，则cos??＝________.

12??12?? 2

答案：－

3

11π???11π－α?

解析：cos?α－＝cos???12???12?＝cos?π－?而sin?

?

?

?π＋α??＝－cos?π＋α?，

???12?

?12????

??＝cos?π＋α?＝2，

???12?3????

π?7π＋α?＝sin?π＋?＋α???

?12??2?12

11π?2?所以cos?α－＝－. ?12?3?

- 10 -

1

2．若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________.

21答案： 2

1

解析：因为tan(π＋α)＝tan α＝－，

21

所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝. 2

[方法技巧] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数．诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．

2．三角函数求值与化简的常用方法

sin α

(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．

cos α

(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． π2222

(3)巧用“1”的变换：1＝sinθ＋cosθ＝cosθ(1＋tanθ)＝tan ＝?

4

[易错防范] 1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐．

2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．

真题演练集训

32

1．[20162新课标全国卷Ⅲ]若tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝( )

4A.64 25

48B. 2516D. 25

2

C．1 答案：A

?34sin α322

解析：解法一：由tan α＝＝，cosα＋sinα＝1，得?sin α＝，�點os α＝

55cos α4??34

或?sin α＝－，�點os α＝－，55?

- 11 -

24

则sin 2α＝2sin αcos α＝，

251648642

则cosα＋2sin 2α＝＋＝.

252525

cosα＋4sin αcos α

解法二：cosα＋2sin 2α＝ 22

cosα＋sinα

2

2

＝

1＋4tan α1＋364

＝＝. 2

1＋tanα925

1＋16

2．[20142大纲全国卷]设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( ) A．a>b>c C．c>b>a 答案：C

解析：∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，

B．b>c>a D．c>a>b

c＝tan 35°＝

sin 35°

，

cos 35°

又0b>a.

3．[20152四川卷]已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cosα的值是________． 答案：－1

解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 2sin αcos α－cosα所以2sin αcos α－cosα＝ 22

sinα＋cosα

2

2

2

＝

2tan α－1－4－1

＝＝－1. 2tanα＋14＋1

课外拓展阅读

分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用

sin?kπ＋α?cos?kπ＋α?[典例] (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是

sin αcos α( )

A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2}

B．{－1,1}

D．{1，－1,0,2，－2}

(2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，则C＝________.

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[思路分析] (1)角中有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．

sin αcos α

[解析] (1)当k为偶数时，A＝＋＝2；

sin αcos α－sin αcos α

当k为奇数时，A＝－＝－2.

sin αcos α所以A的值构成的集合是{2，－2}．

(2)由已知，得{sin A＝2sin B，①��3cos A＝2cos B，② ①＋②，得2cosA＝1，即cos A＝±当cos A＝

23时，cos B＝， 22

2

2

2

2

， 2

ππ

又A，B是三角形的内角，所以A＝，B＝，

467π

所以C＝π－(A＋B)＝.

12当cos A＝－

23时，cos B＝－. 22

又A，B是三角形的内角，

3π5π7π

所以A＝，B＝，不合题意．综上，C＝. 46127π

[答案] (1)C (2) 12温馨提示

(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．

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