2020高考导数压轴题型归类总结

221?e2) 解得x0?e，故点P 的坐标为(e，?ax?ax?a?1(x?1)(ax?1?a)????2x2xx211?a∵0?a? ∴?1?0

2a1?a1?a∴当0?x?1，或x?时f?(x)?0，当1?x?时，f?(x)?0

aa11?a故当0?a?时，函数f(x)的单调递增区间为(1,)；

2a1?a单调递减区间为(0,1)，(,??)

a1x2（Ⅲ）当a?时，f(x)?lnx???1由（Ⅱ）可知函数f(x)在（0，1)上是减函数，

333x2e2在（1，2)上为增函数，在(2，e]上为减函数，且f(1)??，f(e)???

333e2?e2?2e3?(e?1)22?∵f(e)?f(1)?，又e?3?1，∴(e?1)?3，

3e3e2∴f(e)?f(1)，故函数f(x)在(0,e]上的最小值为?

3（0,e]，?x2?[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于 若对于?x1?2f(x)在(0,e]上的最小值?（*）

3552又g(x)?x?2bx??(x?b)2?b2?，x?[0,1]

121252①当b?0时，g(x)在[0,1]上为增函数，[g(x)]min?g(0)????与（*）矛盾

12352②当0?b?1时，[g(x)]min?g(b)??b?，

125212由?b???及0?b?1得，?b?1

1232③当b?1时，g(x)在[0,1]上为减函数，

7172[g(x)]min?g(1)??2b????，此时b?1

121231??） 综上，b的取值范围是[， 2（Ⅱ）f?(x)?15. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数f(x)?xlnx,g(x)??x2?ax?3． ⑴求f(x)在[t,t?2](t?0)上的最小值；

⑵若存在x??,e?（e是常数，e＝2.71828???）使不等式2f(x)?g(x)成立，求实数a的取

e2a(x?1)(x?1?a)a

?1??? 13

值范围；

⑶证明对一切x?(0,??),都有lnx?解：⑴

，

12?成立． exex

所以f?x?min⑵由题意知

1?1? 0?t???ee?? ?tInt t?1?e?32xInx??x2?ax?3,则a?2Inx?x?,x323?x?3??x?1?设h?x??2Inx?x??x?0?则h??x???1?2?xxxx2?1?当x??,1?时，h??x??0,h?x?单调递减；?e?当x??1,e?时，h??x??0,h?x?单调递增；

??1???1?所以h?x?max?max?h??,h(e)?,因为存在x??,e?,使2f?x??g?x?成立，?e???e??所以a?h?x?max,113h()??2??3e，h(e)?2?e? eee11而h()?h(e)，故a??3e?2

eex2（Ⅲ） 等价证明xInx?x??x??0,????

ee由⑴知

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f?x??xInx?x??0,????的最小值是-1e1当且仅当x?取到，

ex21?x设??x??x??x??0,????,则???x??x,eee1易得??x?max???1???，当且仅当x?1时取到，e

x2从而对一切x??0,???都有xInx?x?成立，ee12即Inx?x?对一切x??0,???成立．

eex

16. （最值应用） 设函数f(x)?px?⑴求p与q的关系；

⑵若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； ⑶设g(x)?围.

解：（1）由题意得f(e)?pe?而e?qp?2lnx，且f(e)?qe??2，其中e是自然对数的底数. xe2e，若在?1,e?上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数p的取值范xqp1?2lne?qe??2?(p?q)(e?)?0 eee1?0，所以p、q的关系为p?q. eqp（2）由（1）知f(x)?px??2lnx?px??2lnx，

xxp2px2?2x?p2'.令h(x)?px?2x?p， f(x)?p?2??2xxx要使f(x)在其定义域(0,??)内单调，只需h(x)?0或h(x)?0恒成立.

2x'①当p?0时，h(x)??2x，因为x＞0，所以h(x)＜0，f(x)??2＜0，

x∴f(x)在(0,??)内是单调递减函数，即p?0适合题意；

12ph(x)?p?②当＞0时，h(x)?px?2x?p，∴， minp1只需p??0，即p?1时h(x)?0,f'(x)?0，

p∴f(x)在(0,??)内为单调递增函数，故p?1适合题意.

③当p＜0时，h(x)?px2?2x?p，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为x?1?(0,??)，p 15

只要h(0)?0，即p?0时，h(x)?0在(0,??)恒成立，故p＜0适合题意. 综上所述，p的取值范围为p?1或p?0.

2e在?1,e?上是减函数， x∴x?e时，g(x)min?2；x?1时，g(x)max?2e，即g(x)??2,2e?，

（3）∵g(x)?①当p?0时，由（2）知f(x)在?1,e?上递减?f(x)max?f(1)?0＜2，不合题意；

1?0， x又由（2）知当p?1时，f(x)在?1,e?上是增函数，

1111∴f(x)?p(x?)?2lnx?x??2lnx?e??2lne?e??2＜2，不合题意；

xxee③当p?1时，由（2）知f(x)在?1,e?上是增函数，f(1)?0＜2，又g(x)在?1,e?上是减函数，

②当0＜p＜1时，由x??1,e??x?故只需f(x)max＞g(x)min，x??1,e?，而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne，g(x)min?2， 即

1e14ep(e?)?2lne＞2，解得p＞2 ，

ee?14e，??). 综上，p的取值范围是(2e?1

17. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题） 设函数f(x)?x?⑴讨论函数f(x)的单调性；

1?alnx(a?R).x

⑵若f(x)有两个极值点x1,x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k,问：是否存在a，使得k?2?a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

1ax2?ax?1 解：⑴f(x)的定义域为(0,??).f'(x)?1?2??2xxx令g(x)?x2?ax?1,其判别式V?a2?4.

①当|a|?2时,V?0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增． ②当a??2时,在(0,??)上，f'(x)?0，故f(x)在(0,??)V>0,g(x)=0的两根都小于0，

上单调递增．

22a?a?4a?a?4，

③当a?2时,V>0,g(x)=0的两根为x1?,x2?22当0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时，f'(x)?0；当x?x2时，f'(x)?0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． ⑵由⑴知，若f(x)有两个极值点x1,x2，则只能是情况③，故a?2．

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