(优辅资源)江苏省常州市高三数学一模试卷 Word版含解析

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∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立， ∴

×

﹣a14n2=16×

，

∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．

②t=4时，bn==，Sn=，

对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立， ∴

×

﹣a14n2=16×

，

∴n∴a1=

=4m，

．∵a1为正整数，∴

=k，k∈N*．

，n∈N*，m∈N*，且

=k，k∈

∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2N*}．

四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]

21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．

【考点】弦切角．

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【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．

【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3， 因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO， 所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°； 又因为∠ACB=90°，

得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°， 从而∠ABE=30°， 于是

．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）． （1）求矩阵M；

（2）求矩阵M的另一个特征值．

【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换． 【分析】（1）先设矩阵A=

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值

=[

]，并且矩阵

λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；

=（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2． 【解答】解：（1）设矩阵A=

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，这里a，b，c，d∈R，

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则故

，

=8=，

由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）． 则故

=，

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

=（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，

故矩阵M的另一个特征值为2．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．

【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．

（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．

【解答】解：（1）ρ=2?ρ2=4，所以x2+y2=4；因为所以

， ．

，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．

（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1． 化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求

+

+

的最大值．

．

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【考点】二维形式的柯西不等式．

【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得值．

【解答】解：由柯西不等式可得 （×12 ∴∴

++

++

≤3

，当且仅当

=

=

时取等号．

+

+

）2≤[12+12+12][（

）2+（

）2+（

）2]=3

+

+

的最大

的最大值是6，

故最大值为6．

四.必做题：每小题0分，共计20分

25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且

=

=．

（1）求异面直线MN与PC所成角的大小； （2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．

【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，

，

，

方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．

（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．

【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点， ，

，

方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．

则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…

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