(优辅资源)江苏省常州市高三数学一模试卷 Word版含解析

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（2）l′=h∴0＜α＜∴

，

，l′＜0，

＜α＜

，l′＞0， m．

时，l取得最小值

18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆心率为

，椭圆的右顶点为A．

+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离

（1）求该椭圆的方程： （2）过点D（AP，AQ的 斜率之和为定值．

，﹣

）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线

【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：

（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣

）﹣

，代入椭圆方程，由韦达定理及直

线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．

【解答】解：（1）由题意可知：椭圆c=1，

椭圆的离心率e==则椭圆的标准方程：

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+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，

，则a=

；

，b2=a2﹣c2=1，

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（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（由题意PQ的方程：y=k（x﹣

）﹣

，

，0），

则

，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，

由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，

则y1+y2=k（x1+x2）﹣2

k﹣2=，

则kAP+kAQ=+

）﹣

=

]x2+[k（x2﹣

）﹣

， ]x1=2kx1x2﹣（

k+

）（x1+x2）

由y1x2+y2x1=[k（x1﹣=﹣

，

kAP+kAQ===1，

∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．

19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数） （1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围； （2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；

（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．

【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，

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若f（x）在（0，+∞）上单调递增，

则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0）， 令g（x）=lnx++1，（x＞0）， g′（x）=

，

令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 故g（x）min=g（1）=2， 故0＜a≤2；

（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立， 即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立， ①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立， 令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1）， 则m′（x）=lnx++1， 由（1）得：m′（x）≥2，

故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0， 故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意； ②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx， 令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），

则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减， 故n′（x）＞n（1）=2，

故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0， 故a≥0，而a为正实数，故a＞0．

20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=

（1）求证：数列{}为等比数列；

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（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：

（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【分析】（1）数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化为：即可证明．

（2）由（1）可得：

=

，可得

=n

?4n﹣1．数列{bn}满足bn=

，

=2×

，

可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t．

（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1．

【解答】（1）证明：数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0， ∴

=

an+1，即

=2

，

∴数列{

}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．

（2）解：由（1）可得： =，∴=n

?4n﹣1．

∵bn=，∴b1=，b2=，b3=，

∵数列{bn}是等差数列，∴2×

=+，

∴=+，

化为：16t=t2+48，解得t=12或4．

（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4． ①t=12时，bn=

=

，Sn=

，

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