江西省上高二中2019届高二数学第六次月考试卷 理

方法；第三步，选出1人有C131种方法；第四步，将以上分出的三伙人进行全排列有A3种方法.所以分配方案有C42?C137?C31?A3?630（种）

18．（1）令n=1得a?b?c?24①， 令n=2得4a?2b?c?44②， 令n=3得9a?3b?c?70③， 解①、②、③得a=3，b=11，c=10， （2）记原式的左边为Sn，用数学归纳法证明猜想Sn?n?n?1?212?3n?11n?10?（证明略）

19．（1）证明：∵AD2?BD2?AB2，∴AD?BD，

∴AD//BC，∴BC?BD.

又∵PD?底面ABCD，∴PD?BC. ∵PD?BD?D，∴BC?平面PBD.

而BC?平面PBC，∴平面PBC?平面PBD. （2）解：由（1）知， BC?平面PBD，

分别以DA， DB， DP为x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系D?xyz，如图所示，设BD?3，则AD?1，令PD?t，则A?1,0,0?， B?0,3,0?， C??1,3,0?，

P?0,0,t?， Q??13t????2,2,2??，

?∴AP???1,0,t?， BQ???13??,t??2,?22??. ?∴AP?BQ?t2?12?1，∴t?1. 故DQ?????131?2,2,?2??， BQ??????1,?3,1??222??. ?设平面QBD的法向量为n??x,y,z?，

31则{n?DQ?0?1x?2y?2z?0n?BQ?0 ，即{2 ， ?132x?2y?12z?0令x?1，得n??1,0,1?.

易知平面BDC的一个法向量为m??0,0,1?，则cosm,n?12?1?22， ∴二面角Q?BD?C的大小为

?4. 20．（1）定义域为（0，??）

f??x??1?lnxx2，令f??x??0得x?e ?x??0,e?,f??x??0,f?x?单调递增； x??e,???,f??x??0,f?x?单调递减 ?f?x?的极大值点为x?e,无极小值点

（2）g?x??lnx?ax2?ln211?2ax22?a?0?， g??x??x?2ax?x(x?0,a?0) 令g??x??0，得x?12a x????0,1?2a??,g??x??0,g?x?单调递增；x???1??2a,????,g??x??0,g?x?单调递减

?g?x??1??1?1ln21max?g??2a???ln??2a???a?2a?2??2?lna?1? 由g?x?1max??2?lna?1??a2?1，得lna?a?1?0 令h?a??lna?a?1,h??a??1a?1?0,h?a?单调递增，

而h?1??0

?h?a??0时，a??0,1?

4a2?1b2?121．（Ⅰ）由题意{a2?b2?c2 ，

e?c3a?2解得： a?22， b?2， c?6 故椭圆C的标准方程为x28?y22?1 （Ⅱ）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l的方程为

y?1?12?x?2?，即y?12x?2. x2y2联立方程{8?2?1 ，得x2?4x?4?0， y?12x?2此时，直线l与椭圆C相切，不合题意. 故直线TP和TQ的斜率存在. 方法1：

设P?x1,y1?， Q?x2,y2?，则

直线TP:y?1?y1?1x2?x?2?，

， 1?直线TQ:y?1?y2?1x?x?2? 2?2故OM?2?x1?21， ON?2?x2?2yy， 1?2?1 由直线OT:y?12x，设直线PQ:y?12x?t（t?0）， x2y2联立方程， {8?2?1 ?x2?2tx?2t2?4?0， y?12x?t当??0时， x1?x2??2t， x1?x2?2t2?4，

OM?ON ?4???x1?2x2?2??y1?1?y?

2?1???4????x1?2?x2?2??11?

?2x1?t?12x2?t?1???4?x1x2??t?2??x1?x2??4?t?1?14xx1

212?2?t?1??x1?x2???t?1??4?2t2?4??t?2???2t??4?t?1?1?? 242t?4?12?t?1????2t???t?1?2?4 .

方法2：

设P?x1,y1?， Q?x2,y2?，直线TP和TQ的斜率分别为k1和k2, 由OT:y?12x，设直线PQ:y?12x?t（t?0）, x2y2联立方程， {8?2?1 ?x2?2tx?2t2?4?0, y?12x?t当??0时， x1?x2??2t， x1?x2?2t2?4,

k11?k2 ?y1?x?y2?12 1?2x2?1xt?11?21?x2?t?1x?22 1?2x2??x1x2??t?2??x1?x2??4?t?1??x

1?2??x2?2??2t2?4??t?2???2t??4?t?1??x1?2??x2?2?,

?0

故直线TP和直线TQ的斜率和为零,

故?TMN??TNM, 故TM?TN,

故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为2 故OM?ON?4.

22．（1）当a??4时， f?x???4xe2?x?2?x?1?2，得f'?x??4?x?1??e2?x?1?，

令f'?x??0，得x?1或x?2. 当x?1时， x?1?0， e2?x?1?0，所以f'?x??0，故f?x?在???,1?上单调递减；当1?x?2时， x?1?0， e2?x?1?0，所以f'?x??0，故f?x?在?1,2?上单调递增；当x?2时， x?1?0， e2?x?1?0，所以f'?x??0，故f?x?在?2,???上单调递减；所以f?x?在???,1?， ?2,???上单调递减，在?1,2?上单调递增.

（2）证明：由题意得f'?x???1?x??ae2?x?4?，其中0?a?1，

由f'?x??0得x?1，由f'?x??0得x?1，

所以f?x?在???,1?上单调递增，在?1,???上单调递减.

∵f?1??ae?0， f?0???2?0， f?2??2a?2 ?2?a?1??0， ∴函数f?x?有两个不同的零点，且一个在?0,1?内，另一个在?1,2?内. 不妨设x1??0,1?， x2??1,2?，

要证x1?x2?2，即证x1?2?x2，

因为0?2?x2?x1?1，且f?x?在?0,1?上是增函数， 所以f?x1??f?2?x2?，且f?x1??0，即证f?2?x2??0. 由{f?2?x2??a?2?x2?ex2?2?x2?1?2f?x2 ，得f?2?x2??a ???2?x222?ex?x2e2?x??，2??ax2ex2?2?x2?1??0令g?x???2?x?ex ?xe2?x， x??1,2?，

则g'?x???x?1? e2?e2xex.

∵1?x?2，∴x?1?0， e2?e2x?0，

∴x??1,2?时， g'?x??0，即g?x?在?1,2?上单调递减， ∴g?x??g?1??0，且∴g?x??af?2?x?， 0?a?1， ∴f?2?x??0，即∴f?2?x2??0，故x1?x2?2得证.