2021高考理科数学一轮总复习课标通用版作业：第7章 不等式 课时作业36

课时作业36 基本不等式及其应用

一、选择题

1．(2019年安徽省阜阳市临泉一中高二上学期第三次月考)下列说法正确的是 ( )

?π?2

A．y＝sinx＋sinx，x∈?0，?没有最小值

2???x＋3－2x?23

?恒成立 B．当0＜x＜2时，x(3－2x)≤?

2??

C．已知0＜x＜4.5，则当x2＝9－2x时，x2(9－2x)的值最大 1

D．当1＜x＜10时，y＝lg x＋lg x的最小值为2

?π??

解析：由x∈?0，??，0＜sinx≤1， 2??

2

令sinx＝t，t∈(0，1)，则f(t)＝t＋t，t∈(0，1)，

2

2t－2

求导，f′(t)＝1－t2＝t2＜0，

∴f(t)单调递减，∴当t＝1时取最小值，最小值为3，

?2π??

∴y＝sinx＋sinx，x∈?0，?，有最小值为3，故A错误； ?2??

3

由0＜x＜2，则3－2x＞0，

?x＋3－2x?2

?

∴x(3－2x)≤?，恒成立，故B正确； ??2??

∵0＜x＜4.5，则9－2x＞0，

?x＋x＋9－2x?3

?

∴x(9－2x)＝x·x·(9－2x)≤?＝27. ??3??

2

当且仅当x＝9－2x，即x＝3取等号， ∴当x2(9－2x)取得最大值27时，故C错误； 当1＜x＜10时，0＜lg x＜1， 1

y＝lg x＋lg x≥2

11

lg x×lg x＝2，当且仅当lg x＝lg x，即x＝10时，

取最小值，故D错误，故选B.

答案：B

2．(2019年河南省平顶山高二第一学期期末调研考试)已知a＞0，b＞11

0，则a＋b＋2ab的最小值是 ( )

A．2 B．22 C．4 D．5

11

解析：由a＞0，b＞0可知，a＋b≥2时等号成立，又2

111

ab，当且仅当a＝b，即a＝b

1

ab＝2ab，即

1

ab＋2ab≥24＝4，当且仅当2

1ab＝ab，ab＝1，所以a＝b＝1时等号成立． 答案：C

3．(2019年河北省定州中学高一(承智班)下学期开学考试)已知x，y∈R*，且满足x＋2y＝2xy，那么x＋4y的最小值为 ( )

A．3－2 B．3＋22 C．3＋2 D．42

解析：由题意可得(2y－1)(x－1)＝1，变形为(x－1)(4y－2)＝2，所以2＝

x＋4y－3（x－1）（4y－2）≤，所以x＋4y≥22＋3，当且仅当x－12

2＋2

＝4y－2时，等号成立，即x＝2＋1，y＝4，选B.

答案：B

→·AC→＝23，4．(2018年高考数学)已知点M是△ABC内的一点，且ABπ4x＋y2

∠BAC＝6，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为3，x，y，则xy的最小值为 ( )

A．16 B．18 C．20 D．27 →·AC→＝bccos∠BAC＝23，∴bc＝4， 解析：由已知得AB

211

故S△ABC＝x＋y＋3＝2bcsinA＝1，∴x＋y＝3， 14?14?

而x＋y＝3?x＋y?×(x＋y)

?

?

y4x????＝35＋x＋y?≥3?5＋2 ???故选D. 答案：D

y4x?

?＝27， ×xy?

5．(2019年河北省承德市实验中学高三上学期期中考试)若两个正实数11

x，y满足x＋y＝2，且不等式x＋y＜m2－m有解，则实数m的取值范围是 ( )

A．(－1，2) B．(－4，1)

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞) 11

解析：正实数x，y满足x＋y＝2， 1??1yx

则x＋y＝?2x＋2y?(x＋y)＝1＋2x＋2y ?

?

＝1＋2

14＝2，

当且仅当y＝x＝1，x＋y取得最小值2. 由x＋y＜m2－m有解，可得m2－m＞2， 解得m＞2或m＜－1. 本题选择C选项． 答案：C

6．设计用32 m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2 m，则车厢的最大容积是 ( )

A．(38－373)m3 B．16 m3 C．42 m3 D．14 m3

解析：设长方体车厢的长为x m，高为h m，则2x＋2×2h＋2xh＝32，即x＋2h＋xh＝16，

∴16＝x＋2h＋xh≥22xh＋xh， 即xh＋22xh－16≤0， 解得0＜xh≤22， ∴0＜xh≤8.

∴车厢的容积为V＝2xh≤16(m3)．当且仅当x＝2h且x＋2h＋xh＝16，即x＝4，h＝2时等号成立．

∴车厢容积的最大值为16 m3.选B. 答案：B

7．(2019年福建省福州市闽侯第六中学高二上学期期中考试)若不等式a16b

x＋2x＜b＋a对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是

2

( )