2021版高考数学（人教A版理科）一轮复习攻略核心考点·精准研析+选修4-4+1 坐 标 系

核心考点·精准研析

考点一 伸缩变换

1.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换程.

2.曲线C经过伸缩变换曲线C的方程.

3.将圆x2+y2=1变换为椭圆φ:

+

=1的一个伸缩变换公式后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,求

得到曲线C',求曲线C'的方

(λ,μ>0),求λ和μ的值.

【解析】1.因为所以代入曲线C的方程得

C':+y'2=1.

后所得曲线的方程为

2.根据题意,曲线C经过伸缩变换

x'2+y'2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1. 3.将变换后的椭圆

+

=1改写为

+

=1,把伸缩变换公式

φ:(λ,μ>0)代入上式,得

+=1,即x2+y2=1,

与x2+y2=1比较系数,得所以

1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x',y').

2.平面上的曲线y=f(x)在变换φ:

的作用下得到的

方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到

y'=h(x'),即为变换之后的方程. 考点二 极坐标与直角坐标的互化

【典例】(2020·乌鲁木齐模拟)已知曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.

(1)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,求C1与C2的极坐标方程.

(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为B,当|OA|+

=

时,求C3的直角坐标方程.

【解析】(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,转换为极坐标方程为ρ=2cosθ.

曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0, (2)设曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线,则极坐标方程为θ

=α,

,

由于C1与C3的一个公共点A(异于点O),故所以|OA|=2cosα, C2与C3的一个公共点为B, 所以所以|OB|=由于|OA|+

=

. ,

,

,

所以2cosα+cosα+sinα=即3cosα+sinα=当sinα=

,cosα=

sin(α+β)=时,tan α=,

故曲线C3的直角坐标方程为y=x.

1.极坐标与直角坐标的互化依据是x=ρcos θ,y=ρsin θ. 2.互化时要注意前后的等价性.

在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsinθ-=

(ρ≥0,0≤θ<2π).

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程.

(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.

【解析】(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0, 直线l:ρsin

=

,即ρsin θ-ρcos θ=1,

则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0. (2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,

将两方程联立得解得

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1), 转化为极坐标为

,

.

故直线l与圆O的公共点的极坐标为考点三 极坐标方程的应用

考什么:(1)考查直线与曲线的位置关系、距离及取值范围的问题. (2)考查学生数学运算、逻辑推理等核心素养及数形结合、转化化归等命题 数学方法. 精解 怎么考:极坐标与直线、圆、三角函数等数学知识相结合,考查学生的读 综合运用能力. 新趋势:以极坐标为载体,与其他数学知识交汇考查. 学霸 求取值范围的解题思路: