石家庄市2016-2017学年高一下学期期末数学试卷+Word版含解析(1)

21．如图，要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°．∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，请利用所测数据计算A、B之间的距离．

【考点】HU：解三角形的实际应用．

【分析】在△ACD中利用正弦定理计算AD，在△BCD中利用正弦定理计算BD，在△ABD中利用余弦定理计算AB．

【解答】解：在△ACD中，∠ACD=75°+45°=120°，∴∠CAD=30°， 由正弦定理得：

=

，解得AD=3，

在△BCD中，∠CDB=45°+30°=75°，∴∠CBD=60°， 由正弦定理得：

=

，解得BD=

，

在△ABD中，由余弦定理得AB==

．

22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点． （1）求证：PB∥平面AEC；

（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．

【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面

AEC；

（2）要证平面PDC⊥平面AEC，需要证明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC内的两条相交直线．

【解答】证明：（1）连接BD交AC于O点，连接EO，

∵O为BD中点，E为PD中点， ∴EO∥PB，

又EO?平面AEC，PB?平面AEC， ∴PB∥平面AEC．

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD，

又AD⊥CD，且AD∩PA=A，

∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD， ∴CD⊥AE．

∵PA=AD，E为PD中点，

∴AE⊥PD． 又CD∩PD=D， ∴AE⊥平面PDC， 又AE?平面PAD， ∴平面PDC⊥平面AEC．

23．已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且csinA=

acosC．

（1）求角C的大小；

（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值． 【考点】HP：正弦定理．

【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=cosC，结合C是三角形的内角，

得出C=60°；

（2）由已知及余弦定理，基本不等式可求ab≤4，进而利用三角形面积公式即可得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵csinA=

acosC，

∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC

结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=

∵C是三角形的内角， ∴C=60°；

（2）∵c=2，C=60°，

∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b时等号成立， ∴S△ABC=absinC≤=

，当且仅当a=b时等号成立，即△ABC的面积的最大值

为．

24．已知函数g（x）=x2+bx+c，且关于x的不等式g（x）＜0的解集为（﹣，0）． （1）求实数b，c的值；

（2）若不等式0≤g（x）﹣＜对于任意n∈N*恒成立，求满足条件的实数x

的值．

【考点】3R：函数恒成立问题．

【分析】（1）由题意可得0和﹣为方程x2+bx+c=0的两根，运用韦达定理可得b，c的值；

（2）由题意可得

≤x2+x，且＞x2+x﹣对于任意n∈N*恒成立，将

分子常数化，由对勾函数的单调性，可得它的范围，由恒成立思想可得x2+x

﹣=0，解方程即可得到所求x的值．

【解答】解：（1）函数g（x）=x2+bx+c，且关于x的不等式g（x）＜0的解集为（﹣，0）．

可得0和﹣为方程x2+bx+c=0的两根， 可得0﹣=﹣b，0×（﹣）=c， 即有b=，c=0； （2）不等式0≤g（x）﹣

＜对于任意n∈N*恒成立，

即为

≤x2+x，且

＞x2+x﹣对于任意n∈N*恒成立，

由

=

=

， 由n∈N*，可得2n≥2，2n+

≥2+=，

可得0＜

≤，

则≤x2+x，且x2+x﹣≤0， 即为x2+x﹣=0， 解得x=﹣1或．

附加题（共1小题，满分10分）

25．已知圆C的圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）． （1）求圆C的方程；

（2）过圆内一点P（2，﹣3）的直线l与圆交于A、B两点，求弦长AB的最小值． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．

【分析】（1）过切点且与l：x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与y=﹣4x联立可求得圆心，再由两点间的距离公式求得半径r，即求得圆的方程．

（2）当CP⊥AB，即P为AB中点时，弦长AB最小，即可得弦长AB的最小值． 【解答】解：（1）过切点且与l：x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与y=﹣4x联立可求得圆心为C（1，﹣4）， ∴r=

=2

∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8；

（2）当CP⊥AB，即P为AB中点时，弦长AB最小 CP=

弦长AB的最小值为2

．

．

2017年8月11日