四川省德阳市2020届高三(高中2017 级)“二诊”考试数学(理科)(解析版)

（2）当a＝1时，x[f（x）+x]≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

【分析】（1）f（x）有两个零点?a＝

有两个相异实根，令g（x）＝

，根据单

调性的情况分函数值域的情况即可求出满足两个零点的a的范围； （2）x[f（x）+x]≥g（x），利用分离变量得出对任意的m≤ex﹣∞）恒成立，φ（x）＝ex﹣的最小值．

解：（1）f（x）有两个零点?关于x的方程eax＝x有两个相异实根， 由eax＞0，知x＞0， ∴f（x）有两个零点?a＝令g（x）＝∴g′（x）＝

，

，

有两个相异实根，

﹣，x∈（0，+

﹣，x＞0，则m≤φ（x）min，利用导数求解函数φ（x）

由g′（x）＞0，可得0＜x＜e，由g′（x）＜0，可得x＞e， ∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减， ∴g（x）max＝g（e）＝， ∵g（1）＝0，

∴当0＜x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0， 当x→+∞时，g（x）→0，

∴f（x）有两个零点时，实数a的取值范围为（0，）． （2）当a＝1时，f（x）＝ex﹣x，

∴原命题等价于xex≥lnx+mx+1对一切x∈（0，+∞）恒成立， 等价于m≤ex﹣令φ（x）＝ex﹣

﹣，x＞0，

﹣，x＞0，∴m≤φ（x）min，

∴φ′（x）＝ex+＝，

令h（x）＝x2ex+lnx，x∈（0，+∞），

则h′（x）＝x2ex+2xex+＞0， ∴h（x）在（0，+∞）上单调递增， 又h（1）＝e＞0，h（）＝

﹣1＜e0﹣1＝0，

+lnx0＝0，①，

∴?x0∈（，1），使得h（x0）＝0，即

当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0， 即φ（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， ∴φ（x）min＝φ（x0）＝

﹣

﹣

，

由①可得＝﹣lnx0，

∴＝﹣＝ln＝（ln），

∵函数y＝xex在（0，+∞）上单调递增， ∴x0＝ln

，即x0＝﹣lnx0，

∴φ（x）min＝∴m≤1，

﹣﹣＝+1﹣＝1，

∴实数m的取值范围为（﹣∞，1]．

请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．已知点A为圆C：（x﹣1）2+y2＝1上的动点，O为坐标原点，过P（0，4）作直线OA的垂线（当A、O重合时，直线OA约定为y轴），垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M的轨迹的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程为最大值．

【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．

，连接OA并延长交l于B，求

的

（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：（1）设点M的极坐标为（ρ，θ），所以根据题意，在△OPM中，有ρ＝4sinθ， 所以点M的极坐标方程为：ρ＝4sinθ． （2）设射线OA：θ＝α，（α∈（由

得到|OA|＝ρ1＝2cosα．

）），圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．

由得：，

所以＝＝

＝由于α∈（所以当故

[选修4-5：不等式选讲]

，即

． ），

， ， ．

23．已知函数f（x）＝|x+1|．

（1）求不等式f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；

（2）若正数m、n满足m+2n＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8． 【分析】（1）将所求不等式转化为不等式组求解即可；

（2）利用基本不等式可知m+2n≥8，再利用绝对值不等式的性质即可得证． 解：（1）f（x）≤4﹣|2x﹣3|等价于

或

或

，

解得或或，

综上，不等式的解集为{x|0≤x≤2}；

（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n＝mn， ∴

，

∴m+2n≥8，当且仅当m＝4，n＝2时取等号，

∴f（m）+f（﹣2n）＝|m+1|+|﹣2n+1|≥|m+2n|≥8，当且仅当﹣2n+1≤0时取等号， ∴f（m）+f（﹣2n）≥8．