空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]

练习答案

一、选择题：

1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：

5．60° 6．2 7．三、解答题：

24 8．

45

9题图 10题图 11题图

9．以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz．

依题设，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．

DE?(0,2,1),DB?(2,2,0), A1C?(?2,2,?4),DA1?(2,0,4).

(Ⅰ)∵A1C?DB?0,A1C?DE?0,∴A1C⊥BD，A1C⊥DE． 又DB∩DE＝D，∴A1C⊥平面DBE．

(Ⅱ)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n?DE,n?DA1. ∴??2y?z?0,令y＝1，得n＝(4，1，－2)．

?2x?4z?0.n?A1C|n||A1C|?1414? ?∴二面角A1－DE－B平面角的余弦值为

4242cos(n,A1C)?10．作AP⊥CD于点P．如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系．

22222,0),D(?,,0)，,,0)? O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(1?4422222222,,?1),OP?(0,,?2),OD?(?,,?2)? (Ⅰ)MN?(1?44222则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0,设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n?OP?0,n?OD?0,

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空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]

?2??2y?2z?0,即?取z?2,，得n?(0,4,2). ??2x?2y?2z?0.?2?2∵MN?n?0,∴MN∥平面OCD． (Ⅱ)设AB与MD所成的角为??，

AB?(1,0,0),MD?(?22|AB?MD|1π,,?1),?cos???,???, 223|AB||MD|2π? 3即直线AB与MD所成角的大小为

11．(Ⅰ)证明：在平面??内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB．

∵??⊥??，??∩??＝PQ，∴CO⊥??． 又∵CA＝CB，∴OA＝OB．

∵∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴BO⊥PQ，又CO⊥PQ， ∴PQ⊥平面OBC，∴PQ⊥BC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC⊥OA，OC⊥OB，OA⊥OB，故以O为原点，分别以直线OB，OA，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．

∵CO⊥??，∴∠CAO是CA和平面??所成的角，则∠CAO＝30°．

不妨设AC＝2，则AO?3，CO＝1．

3.

在Rt△OAB中，∠ABO＝∠BAO＝45°，∴BO?AO?∴O(0,0,0),B(3,0,0),A(0,3,0),C(0,0,1).

AB?(3,?3,0),AC?(0,?3,1).

设n1＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，

??3x?3y?0,?n?AB?0,?由?得?取x＝1，得n1?(1,1,3)． ???3y?z?0,?n?AC?0,?易知n2＝(1，0，0)是平面??的一个法向量． 设二面角B－AC－P的平面角为??，∴cos??n1?n25?,

|n1|?|n2|5即二面角B－AC－P平面角的余弦值是

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