微积分的基本操作

第5章 微积分的基本操作

5.1极限

Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有：

Limit[expr,x->x0] 当x趋向于x0时求expr的极限 Limit[expr,x->x0,Direction->1] 当x趋向于x0时求expr的左极限 Limit[expr,x->x0,Direction->-1] 当x趋向于x0时求expr的右极限 趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞ 例如：

x2?21．求lim x??3x?6In[1]:=Limit[Sqrt[x^2+2]/(3x-6),x->Infinity] Out[1]=

1 3sin2x2．求lim

x?0x2In[2]:=Limit[Sin[x]^2/x^2,x->0] Out[2]=1 3．求lim?x?0lnx xIn[3]:=Limit[Log[x]/x,x->0,Direction->-1] Out[3]= -∞

5.2微分

1.函数的微分

在Mathematica 中，计算函数的微分或导数是非常方便的，命令为D[f,x],表示对x求函数f的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种

D[f,x] 计算导数

df?f或 dx?x?nfD[f,x1,x2,…] 计算多重偏导数

?x1?x2??xndnfD[f,{x,n}] 计算n阶导数

dxnD[f,x,NonConstants->{v1,v2,…}] 计算导数例如：

(1) 求函数sinx的导数 In[1]:=D[Sin[x],x]

df，其中v1,v2…依赖于x dxOut[1]=Cos[x]

(2) 求函数e x sinx的2阶导数 In[2]:=D[Exp[x]*Sin[x],{x,2}] Out[2]=2e x Cos[x]

(3) 假设a是常数，对sinax求导 In[3]:=D[Sin[a*x],x] Out[3]=aCos[ax]

(4) 二元函数f(x,y)=x 2 y+y 2 求f对x,y 的一阶和二阶偏导 In[4]:=f[x_,y_]=x^2*y+y^2 Out[4]= x 2 y+y 2 In[5]:=D[f[x,y],x] Out[5]=2xy

In[6]:=D[f[x,y],y] Out[6]=x 2 + 2y In[7]:=D[f[x,y],x,y] Out[7]=2x

In[8]:=D[f[x,y],{x,2}] Out[8]=2y

In[9]:=D[f[x,y],{y,2}] Out[9]=2

Mathematica可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。 例如：

In[10]:=D[x*g[x],x] Out[10]=g[x]+xg′[x] In[11]:=D[x*g[x],{x,4}] Out[11]=4g (3)[x]+xg (4)[x]

对复合函数求导法则同样可用： In[12]:=D[g[h[x]],x] Out[12]=g′[h[x]] h′[x]

如果要得到函数在某一点的导数值，可以把这点代入导数如： In[13]:=D[Exp[x]*Sin[x],x]/.x->2 Out[13]=e 2 Cos[2]+e 2 Sin[2] In[14]:=N[%] Out[14]=3.64392

2.全微分

在Mathematica中，D[f,x]给出f的偏导数，其中假定f中的其他变量与x无关。当f为单变量时，D[f,x]计算f对x的导数。函数Dt[f,x]给出f的全微分形式，并假定f中所有变量依赖于x.下面是Dt命令的常用形及意义

Dt[f] 求全微分df Dt[f,x] 求f对x的微分

Dt[f,x1,x2,…] 求f对xi多重全微分 Dt[f,x,Constants->{c1,c2,….}] 求全微分df，其中c1,c2..是常数 下面我们求x 2 +y 2 的偏微分和全微分

In[1]:=D[x^2+y^2,x] Out[1]=2x

In[2]:=Dt[x^2+y^2,x] Out[2]=2x+2yDt[y,x]

可以看出第一种情况y与x没有关系，第二种情况y是x的函数。再看下列求多项式 x 2 +xy 3+yz的全微分并假定z保持不变是常数。

In[3]:=Dt[x^2+x*y^3+y*z,Constants->{z}]

Out[3]=2Dt[x,Constants→{z}]+y 3 Dt[x, Constants→{z}]

+3xy 2 Dt[y,Constants→{z}]+zDt[y, Constants→{z}]

如果y是x的函数，那么y被看成是常数 In[4]:=Dt[x^2+x*y[x]+y[x]*z]

Out[4]=2xDt[x]+Dt[x]y[x]+Dt[z]y[x]+xDt[x]y′[x]+zDt[x] y′[x]

5.3计算积分

1.不定积分

在Mathematica中计算不定积分命令为Integerate[f,x],当然也可使用工具栏直接输入不定积分式。来求函数的不定积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。

例如若求sinsinxdx Mathematica就无能为力： In[1]:=Integrate[Sin[Sin[x]],x] Out[1]=

??sin[sin[x]]dx

但对于一些手工计算相当复杂的不定积分，MatheMatica还是能轻易求得，例如求

u1?u2?2?11u2du

u1+u2In[2]:= ?du 22+11u1+u?1123ArcTanh[Out[2]=1111+u2]2 1111积分变量的形式也可以是一函数，例如： In[3]:=Sin[Sin[x]]dSin[x]

Out[3]= -Cos[Sin[x]]

输入命令也可求得正确结果： In[4]:=Integrate[Sin[Sin[x]],Sin[x]] Out[4]= -Cos[Sin[x]]

对于在函数中出现的除积分变量外的函数，统统当作常数处理，请看下面例子：

2In[5]:=(a*x+b*x+c)dx

??bx2ax3+Out[5]=cx+ 232.定积分

定积分的求解主要命令是Integrate[f,{x,min,max}]， 或者使用工具栏输入也可以。例如求

?4?4x2eaxdx

In[6]:=Integrate[x^2Exp[ax],{x,-4,4}]

128eaxOut[6]=

3显然这条命令也可以求广义积分，例如求In[7]:=Integrate[1/(x-2)^2,{x,0,4}] Out[7]=∞

求无穷积也可以，例如

?401dx： 2(x-2)???11dx： 4xIn[8]:=Integrate[1/x^4,{x,1,Infinity}] Out[8]=

1 3如果广义积分发散也能给出结果，例如： In[9]:=Integrate[1/x^2,{x,-1,1}] Out[9]= ∞

如果无法判定敛散性，就用给出一个提示，例如： In[10]:=Integrate[1/x,{x,0,2}] Integrate::idiv: Integral of Out[10]=

1 does not converge on {0,2}. x?201dx x如果广义积分敛散性与某个符号的取值有关，它也能给出在不同情况下的积分结果。例如

???11dx： xpIn[11]:=Integrate[1/x^p,{x,1,Infinity}] Out[11]=If[Re[p]>1,

1

,Integrate[x –p,{x,1,∞},Assumptions→Re[p]≤1]] -1+p1,否则不收敛。在Integrate中可加两个参数-1+p结果的意义是当p >1时，积分值为

Assumptions 和 GenerateConditions例如上例中，只要用Assumptions->{Re[p]>1}就可以得到收敛情况的解：

In[12]:=Integrate[1/x^p,{x,1,Infinity},Assumptions->{Re[p]>1}]