圆锥曲线的共同性质及应用

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1?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,即 k2?. ①

4x2将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0.

3由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

2?1?1?3k?0,22即k?且k?1. ?2223???2?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.62k?9设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA?xB?,x?x?AB1?3k21?3k2???????? 由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2 ?(k2?1)??962k?2k??2 221?3k1?3k3k2?7?2.3k?13k2?715k2?1313122于是2?6,即?0.解此不等式得k?或k?. ③ 23k?13k?1153由①、②、③得

1113?k2?或?k2?1. 4315故k的取值范围为(?1,?

例4、（1）设曲线方程为y?ax2?由题意可知，0?a?64?13311313)?(?,?)?(,)?(,1) 1532231564， 764. 7?a??1. 7 ? 曲线方程为y??1264. x?77 （2）设变轨点为C(x,y)，根据题意可知

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?x2y2??100?25?1, ??y??1x2?64,?77?(1)(2) 得 4y2?7y?36?0，

9 y?4或y??（不合题意，舍去）.

4 ?y?4.

得 x?6或x??6（不合题意，舍去）. ?C点的坐标为(6,4)， |AC|?25,|BC|?4.

答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令.

【课内练习】

1．A． 提示：可以分别求出m，n． 2．B．提示：求出基本量．

3．C．提示：注意sinθ的取值范围． 4．B．提示：考虑对称性．

5．2．提示：运用点到直线的距离公式后，说明点P在椭圆内． 6．

16

．提示：可以利用距离相等求出圆心的坐标． 3

7．6．提示：由抛物线方程得焦点坐标，进而得到P，Q的坐标，再由

直线QN与MN关于直线l对称，求得x0． 8．8．

|PF1||PF2|2c|PF1|?|PF2|2a6． ∵，∴????3sin15?sin75?1sin15??sin75?sin15??cos15?16?. 32sin60?2c?e?2a16x2y29．??1．提示：先求圆的切线方程，进而得到双曲线的渐近线方程，再用待定系数法求双

255255曲线的方程．

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x2y210．2?2?1，a=b时表示以原点为圆心，a为半径的圆；a＞b时，表示焦点在x轴上的椭圆；a

ab＜b时，表示焦点在y轴上的椭圆．提示：设出点的坐标，写出直线方程（含参变量），结合点在曲

线上，消去参数．

12.4圆锥曲线的共同性质及应用

A组

1．D．提示：焦点可以在不同的轴上．

2．设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时 |PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B． 3．C．提示：求出基本量． 4．（

?3?24,）∪（

3?7?）．提示：二次项系数为正，且y2的分母较大． ,242

5． 3 ．提示：依据基本量之间的关系及准线方程，分别求出a,c．

31

6． ．提示：分别应用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1|，|PF2|，再用余弦定理．

3

7．当点P在双曲线的右支上时，外切；当点P在双曲线的左支上时，内切．提示：用双曲线的定义及两圆相切时的几何性质．

x2y2yy22

8．(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=t?y=t(x－4)?+=1 ?4?4tx?2x?2x2y2轨迹C的方程为+=1（x≠?2）.

4?4t(2)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆， 设PF1=r1，PF2= r2, 则r1+ r2=2a=4. 在△F1PF2中，F1F2=2c=41?t, ∵∠F1PF2=120°，由余弦定理，

222?得4c2=r1+r22－2r1r2cos120= r1+r2+ r1r2

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= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(所以当－

r1?r221)=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－. 241≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120° 4当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆， 设PF1=r1，PF2= r2，则r1+r2=2a=－4 t, 在△F1PF2中， F1F2=2c=4?1?t. ∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，

2220得4c2=r1+r22－2r1r2cos120= r1+r2+ r1r2

= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(

r1?r22

)=3a2, ∴16（－1－t）≥－12t?t≤－4. 2所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O

综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是

1????,?4????,0?． ??4?B组

1． C．提示：注意基本之间的联系．

2． A．提示：将方程均化为标准方程，再求其焦距． 3． D．提示：联想基本量之间的关系．

4．e1e2＜e3，提示：用离心率的计算公式，注意抛物线的离心率是1．

11提示：抛物线x2=2y的焦点坐标为(0, ), 由抛物线的定义知抛物线上任意一点到焦点2211F(0, )的距离等于到直线y=－的距离．

225．y= －

6．（1）（y＋t)2=2x；(2)t=±2 ．提示：（1）用坐标转移法求轨迹方程；（2）联列方程组后用韦达定理．

1

7．p= ,R(1,1)．提示：先求线段AB的长，依据面积求出抛物线上点到直线的最小距离，依据相切

2求出p，再求得最小距离时点的坐标．

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8．（1）由抛物线y2=23x-4,即y2=23 (x-

223),可知抛物线顶点为（,0）,准线方程为x=.

633在双曲线C中，中心在原点，右焦点（

23，0），右准线x=,

632?c??3?3a???3??a23?∴? ???b?16?c?222?c?a?b?c?23??3??∴双曲线c的方程3x2-y2=1 （2）由?

?y?2x?122?3x?y?1?3x2?(2x?1)2?1?x2?4x?2?0

∴|AB|=210

（3）假设存在实数k,使A、B关于直线y=ax对称，设A(x1,y1)、B(x2,y2),

??ka??1?则?y1?y2?k(x1?x2)?2 ?y?yx?x22?1?a?1?22②

?y?kx?122?(3?k)x?2kx?2?0 ④ 由?22?y?3x?1由②③，有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 ⑤ 由④知：x1+x2=

2k代入⑤ 23?k整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称．