2012年上海高考数学理科试题及答案

2012年上海高考数学(理科)试卷

一、填空题(本大题共有14题，满分56分)

3?i1.计算：= (i为虚数单位).

1?i2.若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x?1?2}，则A?B= . 3.函数f(x)?2cosx的值域是 .

sinx?14.若n?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 (结果用反三角

函数值表示). 5.在(x?26)的二项展开式中，常数项等于 . x16.有一列正方体，棱长组成以1为首项，2为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,?,Vn,?，则lim(V1?V2???Vn)? .

n??7.已知函数f(x)?e|x?a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+?)上是增函数，则a的取值范围是 .

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为 .

29.已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? . 10.如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角???6l O .若将l的极坐标方程写成??f(?)的形式，则

M ? x f(?)? . 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).

12.在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足?|BM||CN|，则AM?AN的取值范围是 . ?|BC||CD|1213.已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(

,5)，C(1,0).函数

y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为 .

1

14.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .

二、选择题(本大题共有4题，满分20分)

15.若1?2i是关于x的实系数方程x?bx?c?0的一个复数根，则 ( )

(A)b?2,c?3.

22D C

A B (B)b??2,c?3.

22(C)b??2,c??1.(D)b?2,c??1.

( )

16.在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是

(A)锐角三角形.

(B)直角三角形.

(C)钝角三角形.

(D)不能确定.

17.设10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105. 随机变量?1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量?2取值

x1?x22、x2?x32、

x3?x42、x4?x52、x5?x12的概率也为0.2. 若记D?1、

( )

D?2分别为?1、?2的方差，则

(A)D?1>D?2.

(B)D?1=D?2.

(C)D?1

(D)D?1与D?2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.

( )

?18.设an?1，Sn?a1?a2???an. 在S1,S2,?,S100中，正数的个数是 sinnn25 (A)25. (B)50. (C)75. (D)100.

三、解答题(本大题共有5题，满分74分)

19.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

(1)三角形PCD的面积；(6分) P (2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)

E

D A

B C

2

20.已知函数f(x)?lg(x?1).

(1) 若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；(6分)

(2) 若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数

y?g(x)(x?[1,2])的反函数.(8分)

21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失

y 事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径

P 可视为抛物线y?1249x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救

O A x 援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.

(1)当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)

3

22.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2?y2?1.

(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成

的三角形的面积；(4分)

(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证：OP⊥OQ；

(6分)

(3)设椭圆C2:4x2?y2?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O

到直线MN的距离是定值.(6分)

4