有限元理论与方法-第9讲

讲 授 内 容

备 注

第9讲(第9周)

4.1.1 轴对称问题有限元法

如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称应力问题。在竖井、压力容器及机械制造中，经常遇到轴对称应力问题。用有限单元法分析轴对称问题时，须将结构离散成有限个圆环单元。圆环单元的截面常用三角形或矩形，也可以是其他形式。这种环形单元之间由圆环形铰相连，称为结圆。轴对称问题的单元虽然是圆环体，与平面问题的平板单元不同，但由于对称性，可以任取一个子午面进行分析。圆环形单元与子午面上相截生成网格，可以采用平面问题有限元分析相似的方法分析。不同之处是：单元为圆环体，单元之间由结圆铰接，节点力为结圆上的均布力，单元边界为回转面。 xwm,Wmz,wmP/2um,Ummymwi,Wijii?jiui,Uiwj,WjP/2juj,Ujr r,u 图2-8 轴对称弹性体三角形单元 图2-9 轴对称三角形单元节点力与节点位移 对于轴对称问题，采用圆柱坐标(r，θ，z)较为方便。如果以弹性体的对称轴作为z轴，所有应力、应变和位移都与θ无关，只是r和z的函数。任一点只有两个位移分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w。由于对称，θ方向的环向位移等于零。

在轴对称问题中，采用的单元是一些圆环。这些圆环和rz平面正交的截面通常取为三角形，如图2-8所示的ijm(也可以取为其他形状)。各单元之间用圆环形的铰链互相连接，每一个铰与rz平面的交点称为节点，如i、j、m等等。各单元在rz平面上形成三角形网格，类似于在平面问题中各三角形单元在xy平面上所形成的网格。但是在轴对称问题中，每个单元的体积都是一个圆环的体积，这点与平面问题是不同的。

假定物体的形状、约束条件及荷载都是轴对称的，这时只需分析一个截面。

1.位移函数

取出一个环形单元的截面ijm如图2-9所示，在节点位移为

?u?δi??i? ?i,j,m?

?wi?仿照平面问题，位移的类似表达式为

u?Niui?Njuj?Nmum?? (2-1-22)

w?Niwi?Njwj?Nmwm?其中

Ni?

1(ai?bir?ciz) (i,j,m) 2A1

A?11rj21rm1rizizj zmai?rjzm?rmzj，bi?zj?zm，ci??rj?rm (i,j,m)

式（2-1-22）写为矩阵的形式

?u?r????N δe?INi?w??INjINm δe (2-1-23)

??10?其中I???是二阶单位矩阵。

01??2.单元应变 ?z???rz?r?r?rz?z?? 图2-10 轴对称弹性体的应力 轴对称应力问题，每点具有4个应变分量，如图2-10所示，沿r方向的正应变εr，称为径向正应变；沿θ方向的正应变εθ，称为环向正应变；沿z方向的正应变εz，称为轴向正应变；在rz平面中的剪应变为γrz。由于轴对称，其余两个剪应变分量γrθ及γθz都等于零。根 据几何关系，可推知应变与位移之间符合下列关系

??u???r???r??u???????r? (2-1-24) ε??????w??z???????z???rz???w?u??????r?z?将位移函数式（2.1.23）代入上式得

ε?B δe?Bi其中

?BjBm δe (2-1-25)

? 2

??Ni??r?N?iBi??r????N?i??z?0???bi?h0?1???i?Ni?2A?0??z??ci?Ni???r?0?0?? ci??bi?hi?aiz?bi?ci rr环向应变εθ中包含了坐标r和z，不是常量，但其他应变分量都是常量。

3.单元应力

在轴对称问题中，任一点具有4个应力分量，即径向正应力σr、环向正应力σθ、轴向正应力σz

及剪应力τrz。

应力与应变之间的关系，可用矩阵写成

ζ???r式中[D]为弹性矩阵，对各向同性体

???z?rz?T?D ε (2-1-26)

?1????1?1???E?1????1D???1????1?2???对??称??4.单元刚度矩阵

由虚位移方程，沿着整个圆环求体积分，可得

?1??1???0?

?0?1?2???2?1?????0Ke?2???BTDBrdrdz (2-1-27)

A5.节点荷载

对于轴对称问题，节点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。例如，设节点的半径为r，单位长度的铰上作用的荷载为R(径向)和Z(轴向)，计算中采用的节点荷载应为径向2πR，轴向2πZ。

设单位体积内作用的体积力(重力、离心力等)为q=[qr qz]T，节点荷载为

Pqe?2???NTq rdrdz (2-1-28)

A2.1.3 空间问题有限元法

弹性力学的平面问题和轴对称问题是空间问题的特例，是在某种条件下的简易解法。在实际工程中，有些结构由于形体复杂，难以简化为平面问题或轴对称问题，必须按空间问题求解。在空间问题中，最简单的单元是具有四个角点的四面体，如图2-11所示。从这一节开始，先介绍常应变四面体单元，然后介绍高次四面体单元及六面体单元等。下面首先以四面体单元为例介绍空间问题的有限元法求解步骤。

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zyim?ijpyui,Uui,Uivi,Vix 图2-11 四面体单元 1.位移模式

如图2-11所示的一个四面体单元，以四个角点i、j、m、p为节点，这是最早提出的，也是最简单的空间单元。

每个节点有三个位移分量

?ui?? (i,j,m,p) (2-1-29)

δi??vi????wi??每个单元共有12个节点位移分量，表示为向量

δe?δi假定单元内任一点的位移分量是坐标的线性函数

?δjδmδp (2-1-30)

?Tu??1??2x??3y??4z??v??5??6x??7y??8z? (2-1-31) u??9??10x??11y??12z??其中，广义坐标?1、?5、?9代表刚体移动，?2、?7、?12代表常量正应变，其余6个系数反映了常量剪

应变和刚体转动。

以各节点的坐标和位移代入上式，求出各广义坐标，进而得到四面体单元上任一点的位移为

?u???N δe?INr??vi????w???INjINmINp δe (2-1-32)

?式中，I为三阶单位矩阵。形函数为

Ni?V为四面体ijmp的体积

ai?bix?ciy?diz (i,j,m,p)

6V1V?xiyiyjymypzizjzmzp1yjzjzm (i,j,m,p) zp11xj61xm1xp (i,j,m,p)

xjai?xmxp

yjymypzjzp4

zm (i,j,m,p)，bi??1ym1yp