华中师范大学,2013量子力学B卷标答

-- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -------学号：---- -- --- -- -- -- --- -- -- -- ---- 线 ： ------姓名-------学生---- -- --- -- -- --- 封 -： ----年级----- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- 密 --专业：------ -- -- --- -- -- -- --- -- -- --： ）---------院（系---------- 华中师范大学 2013 –2014学年第一学期 期末考试试卷（B卷） 课程名称 量子力学 课程编号 83810113 任课教师 郭 红 题型 判断题 简答题 证明题 计算题 总分 分值 14 20 16 50 100 得分 得分 评阅人 一、判断题：（共7题，每题2分） 1. ( × ) 由玻色子构成的复合粒子一定是玻色子，由费米子构成的复合粒子一定是费米子。 2. (? ) 粒子在中心力场中运动其能级的简并度至少为?2l?1?，l?0,1,2?。 3. ( ? ) 假定氢原子中的电子处在状态 r?r??r,?,???2a62a52e?Y1,1??,???Y1,0??,???Y1,?1??,??? 。 其中Y1,0??,??,Y1,?1??,?? 为球谐函数。发现电子在基态?211的几率是1/3 4. (× ) 由全同费米子组成的系统，其哈密顿量必须是反对称的。 5. (×) 厄米算符A?满足A?4?1，则该算符的本征值为?1和?i。 6. (×) 两力学量算符不对易，则它们不可能有共同的本征态。 7. (×) 如果量子体系的哈密顿量H?具有空间反演对称性 ，则该体系的波函数必须是空间反演对称的.

得分 评阅人 二、简单回答下列问题：（共3题） 1．举例说明量子力学在现代科技领域的应用。（10分） 开放性题目，没有标答 2. 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？（5分） 答：因为所有力学量测量结果都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。 3. 粒子在势场U(x,y)=a(x2+y2)中运动，式中a为常数，试问E，x，y，z，px，py，pz，L2，Lx，Ly，Lz和宇称等力学量中哪些是守恒量？（5分） 答：E、pz、Lz、和宇称等力学量为守恒量。 第 1 页(共 3 页)

得分 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 评阅人 三、证明题：（共2题，每题8分） 21. ?x,?y,?z为泡利矩阵，定义????x?i?y，证明???0。 证明： ?01??0?i??02? ????x?i?y???i???,????10??i0??00??02??02???2???0.????00??00? ?和L?z的共同本征态中，Ly的平均值为零． 2．证明在轨道角动量L2?z,L?x]?i?L?y出发计算Ly。根据平均值定义，Lz的本征值方程以及厄米算符证明：由对易关系[L的定义可得 ?y?1L?z,L?x?1[L?zL?x?L?xL?z]Li?i? 1*??1*??*???xL?z]Ylmd??1?YlmLy??Ylm[LzLx?LLzLxYlmd???YlmLxLzYlmd?i?i?i?1?1*??*???(LY)(LY)d???YlmLx(LzYlm)d?zlmxlmi?i?11*?*??m??YlmLxYlmd??m??YlmLzYlmd??0i?i???

得分 评阅人 五、计算题：（共4题） 1.（15分）在宽度为a的一维无限深势阱中运动的粒子，初始时刻的波函数为 ?8?x?x?(1?cos)sin?(x,0)??5aaa?0?0?x?a; x?0,x?a.求（1）波函数?(x,t)； （2）t>0时体系能量的可能值、相应的概率及平均值。 解：（1）一维无限深势阱的能量本征波函数为：?n(x)?2n?xsin,0?x?a， aa在0?x?a的范围用本征函数展开体系的初始时刻波函数： ?(x,0)?8?x?x(1?cos)sin?5aaa22?x122?x?sin?sin?5aa5aa8?x8?x?x sin?sincos5aa5aaa21?1(x)??2(x)55 则任意时刻的波函数： 21???1?x?e?iEt/???2?x?e?iEt/??(x,t)??55?0?120?x?a;x?0,x?a.其中 ?2?24?2?2E1?,E2?2?a22?a2 ?2?24?2?2（2）t>0时粒子能量为E1?的概率为0.8，取E2?的概率为0.2，平均能量为 222?a2?a414?2?2E?E1?E2?555?a2 2.?15分?已知二阶矩阵A,B满足下列关系：A2?0，AA??A?A?I，B?A?A试证明： B?B，并在B表象中求出矩阵A,B.2 ?1??2??B2?A?A?A?A?A?(??A?A)?A?A?A?A?2A2?A?A?B设B的本征值为?，则B????B2???2?又因为B2?B ?00??在B表象中，B???01???2??即?1?0,?2?1 第 2 页(共 3 页)