2019 - 2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教B版选修2 - 2

2．2.2 反证法

1.了解反证法的基本思想． 2.理解反证法的证明思路． 3.会用反证法证

明数学问题．

反证法 (1)定义

由证明p?q转向证明：﹁q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法叫做反证法．

(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤 ①分清命题的条件和结论； ②做出与命题结论相矛盾的假定；

③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；

④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( )

(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√

2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论的否定，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等； ④原命题的结论．

A．①② C．①②③ 答案：C

3．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( ) A．a＜b C．a＝b 答案：B

B．a≤b D．a≥b B．①②④ D．②③

用反证法证明否定性命题

如图，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一

点．

求证：AC与平面SOB不垂直． [证明] 假设AC⊥平面SOB， 因为直线SO在平面SOB内， 所以AC⊥SO.

又SO⊥底面，所以SO⊥AB.

因为AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB. 故平面SAB∥底面．

这与已知条件矛盾，所以假设不成立． 即AC与平面SOB不垂直．

(1)用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

(2)用反证法证明数学命题的步骤

1.已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a＋b＋c＋d＋ab＋cd≠1.

证明：假设a＋b＋c＋d＋ab＋cd＝1. 因为ad－bc＝1，

所以a＋b＋c＋d＋ab＋cd＋bc－ad＝0， 即(a＋b)＋(c＋d)＋(a－d)＋(b＋c)＝0. 所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0， 则a＝b＝c＝d＝0，

这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立． 所以a＋b＋c＋d＋ab＋cd≠1.

2．已知三个正数a，b，c，若a，b，c成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列．

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证明：假设a，b，c构成等差数列， 则有2b＝a＋c， 即4b＝a＋c＋2ac，

又a，b，c成公比不为1的等比数列， 且a，b，c为正数，

所以b＝ac且a，b，c互不相等， 即b＝ac，

因此4ac＝a＋c＋2ac， 所以(a－c)＝0，

从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾． 故a，b，c不成等差数列．

用反证法证明唯一性命

求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． [证明] 已知：点P在直线a外．

求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条． 证明如下：因为点P在直线a外， 所以点P和直线a确定一个平面，

设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b， 使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行． 假设过点P还有一条直线c与a平行， 因为a∥b，a∥c，

所以b∥c，这与b、c相交于点P矛盾，故假设不成立． 即过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．

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证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．

已知a≠0，证明方程ax＝b有且只有一个根．

证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝，如果方程不止一个根，不妨设x1，x2

是它的两个不同的根，即

baax1＝b， ① ax2＝b. ②

①－②得a(x1－x2)＝0.

因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设不成立． 所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．

用反证法证明“至多”“至少”命题

设f(x)＝x＋bx＋c，x∈[－1，1]，证明：当b＜－2时，f(x)在其定义域内至

1

少存在一个x，使|f(x)|≥成立．

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[证明] 假设不存在x∈[－1，1]使|f(x)|≥成立，

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则对任意x∈[－1，1]都有－＜f(x)＜成立．

22当b＜－2时，x＝－＞1，

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所以f(x)在[－1，1]上是单调递减函数，

1

f（－1）＝1－b＋c＜，??21所以??b＞－，与b＜－2矛盾．

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??f（1）＝1＋b＋c＞－2

故假设不成立，因此当b＜－2时，f(x)在其定义域内至少存在一个x， 1

使|f(x)|≥成立．

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(1)对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题，若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则可考虑用反证法证明．

(2)注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”．

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设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋，求证：a＋a＜2与b＋b＜2至多有一个

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bab成立．

11a＋b证明：因为a＋b＝＋＝，

abab因为a＞0，b＞0， 所以ab＝1.

假设a＋a＜2与b＋b＜2同时成立，

则由a＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；同理0＜b＜1，

从而ab＜1，这与ab＝1矛盾，故a＋a＜2与b＋b＜2至多有一个成立．

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